[수학1] 수열의 합 공식 유도
고등학교에서 배우는 대표적인 수열로는
등차수열과 등비수열이 있겠는데요!
이 두가지 수열들의 총합을 계산하는
공식을 한 번 유도해봅시다~
-1.등차수열의 합 공식 유도
우선 등차수열의 합 공식부터 유도해볼까요?
일단 제 1항부터 제 n항까지의 등차수열 합은
다음과 같이 나타나요!
제 1항부터 제 n항까지의 값을
순서대로 쭈욱 더했습니다~
그런데 여기서 합을 쪼금 달리 표현해볼게요!
a는 첫 항인 제 1항, 값은 a+(1-1)d=a
l은 마지막 항인 제 n항, 값은 a+(n-1)d
저기서 아래쪽 합은 마지막 항인 제 n항에서부터
공차 d씩 순서대로 빼가면서,
더하는 순서를 거꾸로 해주는 것 뿐이에요~
여기서 이 두 녀석을 더해보았습니다!
흥미롭게도 모두 a+l 이라는 값이..!
그런데 이 a+l이 총 n개 있는 것이므로,
(a+l)×n개 , 즉 n(a+l)로 나타내줄 수 있겠죠?
그럼 여기서 2를 나눠주면 총 합 S 유도 끝~
여기서 쪼금 더 가보자면,
마지막 항인 제 n항의 값은
a+(n-1)d라고 제가 말씀 드렸죠?
그 녀석을 대입해주면 저렇게 나와요~
둘 다 암기하고 계셔야 합니닷
-2.등비수열의 합 공식 유도
비슷한 흐름으로,
등비수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합은
다음과 같이 나타나요!
여기서, 총 합 S에 r을 곱해주시면
아래와 같은 결과가 나오는 것 쉽게 이해되시죠?
위의 녀석에서 아래를 빼보았습니다~
위와 같이 소거되니까
남는 녀석은 아래와 같게 나오겠네요!
( 좌변은 S-rS니까 S로 묶어주시면
(1-r)S 입니닷 )
여기서 또 S에 대해 식을 바꿔주시면
다음과 같은 결과가 도출됩니다!
그런데 1-r을 나누려면,
r이 1이 아니라는 조건이 있어야겠죠?
그렇다면 r=1일 때는 어떨까요?
r=1이라면 이렇게 아주 간단히 나오네요!
예제1)다음 수열의 제 1항부터 제 15항까지의
총 합은 얼마인가?
예제2)다음 수열의 제 3항부터 6항까지의
총 합은 얼마인가?
답 :
1. 공식을 그대로 이용한다.
2. 제 6항까지의 합 - 제 2항까지의 합.
