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[대학미적분] 편미분의 정의 위의 표기는 x에 대한 f의 편도함수를 뜻해요! 차차 내용을 알아가보겠습니다~ -편미분의 정의 우선 편미분은 다변수 함수에 대한 미분이에요! (1) : 독립변수가 하나인 일변수함수 (2) : 독립변수가 두개인 다변수함수 (이 경우는 이변수함수) 우리가 (1) 같은 x에 대한 미분은 배우셨을 거에요! 하지만 이제는 x 한 개 뿐만이 아니라, 2개 이상의 변수를 가진 함수를 미분하려 해요~ 그런데 2개 이상의 변수부터는 머리가 좀 아프죠? 그렇기 때문에 변수 하나 빼고는 모두 고정하고, 즉 나머지를 모두 상수로 취급해준 상태로 미분을 취하는 것이 바로 편미분이지요! 예를 들면, x y z가 .. 공감수 18 댓글수 0 2019. 4. 9.
[고등미적분] 몫의 미분법 유도 위의 몫의 미분법을 한 번 유도해봅시다! -몫의 미분법 유도 우선 두 번째 식을 유도해보죠 미분의 정의를 그대로 이용해봅시다~ 그렇다면 대입해서 위와 같겠지요? 분자를 통분해줍니다~ 여기서 이런 식으로 분리해줘도, 위의 값과 동일하겠죠? 분리한 식을 이렇게 떼주었습니다! 이 두 가지 극한을 계산하면 되네요~ 첫 번째 항에서는, g(x+h)에서 h가 0으로 가면 g(x)가 되겠지요! 두 번째 항에는, g(x)의 미분의 정의 그대로니까 g'(x)가 됩니다~ 따라서 정리해주시면 이렇게 유도되네요! 어렵지 않죠? .. 공감수 2 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] 곱의 미분법 유도 이 녀석이 곱의 미분법이라는 겁니다! 한 번 증명해보죠~ -곱의 미분법 유도 우선 미분의 정의에 따라서, 다음과 같게 나타나겠죠? 이제 여기서 저런 식으로 빨간 녀석을 더하고 뺍시다! 더하고 빼주었으니 당연히 값은 같겠죠~ 앞쪽을 g(x+h),뒤쪽을 f(x)로 묶어주었어요! 이런 식으로 극한을 떼보았습니다! 이제 저 두 가지를 계산하면 되겠네요~ 첫 항의 첫 번째는 f(x)의 미분의 정의니까 f'(x), 두 번째는 g(x+h)에서 h가 0으로 가니까 g(x)! 두번째 항에서 f(x)는 h와 관련없으니 당연히 h에 대해 극한을 보내봤자 f(x)그대로, 뒤쪽 덩어리는 g.. 공감수 2 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] 합성함수의 미분법 유도 (연쇄 법칙) 요 녀석이 합성함수의 미분법입니다! 한 번 유도해볼까요? 참고로 아래와 같이 표현해줄 수도 있어요~ 연쇄 법칙(대학 미적분에서 이리 나오는 데, 같은 말) -합성함수의 미분법 유도 우선 미분의 정의에 따라, 당연히 이렇게 써줄 수 있겠지요? 여기서 위 아래에 같은 값인, g(x+h)-g(x)를 곱하여 분리해주었네요! 이렇게 해도 당연히 같은 값이겠지요? 저기서 분리된 두 가지 극한을 각각 살펴보면 첫 번째 항은 위와 같은 형태의 미분의 정의이고, 두 번째 항은 위와 같은 미분의 정의입니다! 따라서 첫 항은 f(g(x))의 미분의 정의가 되고 두 번째 항은 g(x)의 미분의 정의가 되므로,.. 공감수 1 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] tan , cot , sec , csc 의 미분 유도 ※이 글을 이해하기 위해서는 아래의 내용이 선행되어야 합니다 (각각 sin cos의 미분 , 몫의 미분) https://sseong40.tistory.com/19 https://sseong40.tistory.com/21 이번에는 앞선 내용들을 이용해서 위의 삼각함수들을 모두 유도해보겠습니다! -tan x의 미분 유도 우선 탄젠트는 다음과 같지요? 이 녀석에 몫의 미분법을 사용해주시면, 위와 같은 결과가 나오겠지요? 우리는 앞서 sin,cos의 미분을 계산했으므로 이를 대입하면, 다음과 같은 결과가 나옵니다! 이 식을 조금 정리해볼까요? 그러면 위와 같이 나오겠네요! 그런데 저기서 cos제곱+sin제곱=1이 된다는 것.. 공감수 17 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] tan x/x , cos x/x 의 극한 유도 이번에는 위의 극한을 한 번 유도해봅시다! -tan x/x의 극한 유도 https://sseong40.tistory.com/20 우선 위의 내용을 보고 오셔야 합니다! 저 글에서 이 부분 기억나시지요? sin x/x를 유도할 때에는 sin x을 나누었는데, 이번에는 tan x를 나누어보도록 할까요? 그러기 이전에, 이번에도 세타를 다음과 같이 잡아줘볼까요? (양수쪽으로 잡았으니, 우극한을 보게 되네요) 따라서 위와 같이 나눠줄 수 있습니다! 역수를 취해주면 위와 같이 나오겠지요? 이 식에서 우극한을 한 번 보내봅시다! (처음에 세타를 양수로 잡았으므로, 좌극한은 .. 공감수 6 댓글수 0 2019. 4. 8.
[대학미적분]역삼각함수의 정의(arcsin , arccos ,arctan) 세 녀석들은 각각 sin , cos , tan 의 역함수들인데요! 오늘은 위와 같은 역삼각함수들의 정의에 대하여 알아보도록 하겠습니다~ -arcsin의 정의 먼저, sin의 역함수 arcsin에 대하여 알아봅시다! 우선 sin 함수를 볼까요? 위와 같은 함수인 것 다들 기억나시지요? 그런데 역함수가 존재하기 위해서는 원래 함수가 일대일 함수여야 하기 때문에, 저 sin 함수의 역함수를 정의해주기 위해서는 sin함수가 일대일 함수가 되도록 x의 범위를 잘 잘라줄 필요가 있어요~ 그렇다면 위와 같이 정의역으로 잡아주게 된다면, 일대일 함수의 조건을 만족하시는 거 보이시죠? 그러니까 si.. 공감수 21 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] sin x/x 극한 유도 이번에는 이 녀석을 유도해보도록 하겠습니다! -sin x/x의 극한 유도 출처 : https://socratic.org/questions/how-do-you-use-the-squeeze-theorem-to-find-lim-sin-x-x-as-x-approaches-zero 위의 그림을 이용해보도록 하겠습니다! 선분 OA의 길이가 1이고, 각 KOH를 세타라고 합시다! 그렇다면, 각각 요렇게 되는 거 이해되시지요? 여기서, 삼각형 KOH,부채꼴 KOA,삼각형 LOA 이 세 녀석의 넓이 관계에 대해 생각해보죠~ 그림을 보시면 삼각형 KOH < 부채꼴 KOA < 삼각형 LOA 요렇게 되는 거 바로 보이실 겁니다! 그러면 저걸.. 공감수 3 댓글수 0 2019. 4. 8.
[고등미적분] sin , cos 의 미분 유도 (삼각함수) 두 삼각함수의 미분이네요! 바로 유도해보도록 합시다 -sin x의 미분 일단 요렇게 써줍시다 그런데 위의 식 기억나시나요? 미분의 정의지요? 따라서 저 녀석의 미분은, 다음과 같이 정의됩니다! 이제 이 녀석을 구하면 되겠네요~ sin (x+h)를 덧셈 정리에 의해, 위와 같이 전개했습니다! 뒤에 있는 sin x를 묶어주었네요~ 이런 식으로 극한을 떼어볼까요? sinx와 cos x는 h와 관련없으니 그냥 저렇게 빠져나가는 것도 가능합니다~ 저 위에서 이 녀석을 한 번 계산해보죠! 위아래에 같은 값을 곱합시다 이런 식으로 나오겠.. 공감수 1 댓글수 0 2019. 4. 7.
[물리1] 시간 지연 공식의 증명 (특수 상대성 이론) 위의 공식이 바로 특수 상대성 이론에서 '시간 지연' 이라는 녀석으로 나타납니다! 유도는 정말 쉬워요~ 바로 해봅시닷! -시간 지연 공식의 유도 우선 이런 상황을 가정해볼까요? 지금 열차가 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 중이고, 안에서 저런 빛시계가 위 아래로 왕복 중입니다 그러면 열차 안에서 보이는 빛은 위 아래로만 움직이겠지만, 밖에서 보면 저런 식으로 오른쪽으로 이동하면서 위 아래로 움직이겠죠? 그럼 여기서 시작해봅시닷 H는 안에서 보이는 빛을 말하지요? 그렇다면 이동하는 거리는, 광속 c × 가는데 걸리는 시간 t_0 가 위와 같이 나오겠네요! 그 다음 이 녀석은 밖에서 보이.. 공감수 13 댓글수 0 2019. 4. 7.
[고등미적분] 역함수의 미분법 유도 이번에는 요 녀석을 증명해보도록 하지요~ -역함수 미분법 유도 우선 g(x)을 f의 역함수라고 생각하시면, 다음과 같게 나오겠지요? 정의역 y를 대입하시면 g(x)는 정의에 따라 x가 나올테니, 결국 f(x)=y가 나오니까 결과는 y에 대한 항등함수~ (이거 그냥 역함수의 성질같은 거에욧 혹시 모를까봐 설명드렸슴다) 이 다음에 이 녀석을 미분해볼까요? 이런 식으로 나오겠네요! 합성함수의 미분법을 그대로 사용했습니다~ (합성함수의 미분법을 모르신다면 아래로) 위의 녀석을 조금 변형했습니다! 이제 여기서 앞서 말씀드렸듯이, g(x)를 f의 역함수라고 말씀드렸죠? 그래서 위와 같이 바꿨습니.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[일반물리] 회전 관성 (관성 모멘트) 유도 회전운동에서 질량의 역할을 맡고 있는, 회전 관성이라는 녀석을 유도해볼까 합니다! (옛날엔 관성 모멘트로 불렸습니닷) -회전 관성 유도 일단 위의 식은 그냥 호도법의 정의입니다~ 이 친구를 쫌 이용해봅시닷 그런데 여기서 각각 변위와 각도는, 다음과 같이 바꿔줄 수 있는 것 이해되시죠? (속도에 몇 초만큼 지났는지 곱하시면, 얼마나 갔는지가 나오겠지요~) 그러면 정리해서 다음과 같은 식이 유도되네요! 그 다음, 각각의 운동 에너지 식을 살핍시닷 병진 운동 에너지,회전 운동 에너지의 계산식이네요~ 얘들은 다 아시겠쥬? 출처.정보통신기술용어해설 이 쯤에서 이런 그림을 한 번 살펴볼까.. 공감수 2 댓글수 0 2019. 4. 7.
[수학1] 그 외 유용한 시그마 공식 유도 ※이 내용을 보기 위해서는 아래의 내용이 선행되어야 합니다 https://sseong40.tistory.com/9 이번에는 요 녀석들을 유도해볼까 합니다! 1.제곱수의 시그마 공식 우선 요 녀석을 증명합시다~ 좌변은 아래와 같이 나타낼 수 있겠지요? (요거 시그마 연산의 성질입니다! 저렇게 분배해주거나, k랑 관련 없는 녀석들은 밖으로 빼고 하는 게 가능~) 여기서, 우리가 앞서 배운 자연수 총 합의 공식을 대입해줍시다! 또한, 1을 n번 더한 것은 n이라고 말씀드렸죠? 이 녀석 역시 대입~ 그럼 요렇게 간단히 표현됩니다! 이 녀석을 쫌 정리해주면 n^2이 나오는 거 금방 아실거에요~ .. 공감수 10 댓글수 1 2019. 4. 7.
[유체역학] 베르누이 방정식 유도 베르누이 방정식은 유체에 관한 에너지 방정식이에요~ 이 녀석의 상위 호환으로는 나비에 스토크스 방정식이라는 친구가 있져 우선은 베르누이 방정식을 알아야하겠죠? 바로 시작해봅시닷 -베르누이 방정식 유도 우선 우리는 유체의 에너지 공식을 만들기 전, 강체의 에너지 공식을 알아줘야 합니다! (참고로 오른쪽 const.는 상수라는 의미, 즉 일정하다는 뜻입니다~) 이 녀석을 풀이해보면, 외부에서 해주는 일+운동 에너지+위치 에너지 가 되겠네요! 그런데 여기서, 우리는 이 공식을 유체의 에너지에 대한 식으로 바꿔줘야 합니다! 그럼 여기에 유체의 부피 V를 나눠줄까요? 넵 그러면 위와 같겠네요! 양쪽에 똑같이.. 공감수 14 댓글수 1 2019. 4. 7.
[일반화학]반데르발스 상태 방정식 유도 ※이 내용을 이해하기 위해서는 아래의 내용이 선행되어야 합니다 (이상기체 상태 방정식 유도) https://sseong40.tistory.com/11 반데르발스 상태 방정식은, 이상기체 상태방정식의 상위 호환입니다! 이상기체에는 5가지 가정이 있어욧 이 5가지 중 2가지 제약을 없앤 방정식이 바로 반데르발스 상태 방정식이며, 남은 3가지 제약을 가지는 기체를 반데르발스 기체라고 합니다~ 좀 더 현실에 가깝게 거동하는 기체지요! -반데르발스 상태방정식 유도 위에서 보신 대로 반데르발스 상태방정식은 이런 형태를 띄고 있습니다! 이상기체 상태방정식과 느낌이 유사하죠? 한 번 어떻게 변했는지 비교해봅시다! 아하! 압.. 공감수 17 댓글수 1 2019. 4. 7.
[미분적분학] 테일러 급수 유도 ※이 내용을 이해하기 위해서는 고등 미적분을 보고 오셔야 합니다! 위의 살벌한 녀석은 바로 테일러 급수! 초월함수들을 다항함수로 바꿔서 계산을 용이하게 해주는, 수학에서 광범위하게 쓰이는 중요한 녀석이죠~ 바로 유도에 들어가보도록 하겠습니닷 -테일러 급수의 유도 우선은 어떤 복잡한 함수 f(x)를 저런 형태의 다항함수로 분해하려고 합니다! 우선 조건을 좀 걸어줄게요~ -함수 f(x)는 x=a에서 무한 번 미분 가능하다. 참고로 여기서, 일반적인 다항함수인 a+bx+cx^2 ...로 두지 않고 저렇게 둬도 괜찮을까 생각이 들 수도 있는데요! 저 다항식은 결론적으로는 모두 전개하면, 아래와 같은 일반적인.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[고등화학]이상기체 상태 방정식 유도 물2에 나오는 중요한 방정식이져! 바로 유도ㄱㄱ! -1.보일 법칙 기체의 몰수 n몰과 온도 T가 일정할 때, PV는 항상 일정하다, 즉 압력과 부피는 반비례! (k는 그냥 상수의 의미, 일정하다는 겁니다~) -2.샤를 법칙 기체의 몰수 n몰과 그 기체의 압력 P가 일정할 때, V/T는 일정하다, 즉 부피와 온도가 반비례한다! -3.보일-샤를의 법칙 앞선 두 녀석은 중학교에서 배우셨죠? 이제 그 두 놈을 합쳐버립시돠 보일 법칙이 압력과 부피만을, 샤를 법칙이 온도와 부피만을 상정한 법칙인 것 다들 알고 계시지요? 그럼 요렇게 되는거 이해되시나요? 위의 두 녀석을 합치게 되면, 결국 .. 공감수 4 댓글수 1 2019. 4. 7.
[수학1] 수열의 합 공식 유도 고등학교에서 배우는 대표적인 수열로는 등차수열과 등비수열이 있겠는데요! 이 두가지 수열들의 총합을 계산하는 공식을 한 번 유도해봅시다~ -1.등차수열의 합 공식 유도 우선 등차수열의 합 공식부터 유도해볼까요? 일단 제 1항부터 제 n항까지의 등차수열 합은 다음과 같이 나타나요! 제 1항부터 제 n항까지의 값을 순서대로 쭈욱 더했습니다~ 그런데 여기서 합을 쪼금 달리 표현해볼게요! a는 첫 항인 제 1항, 값은 a+(1-1)d=a l은 마지막 항인 제 n항, 값은 a+(n-1)d 저기서 아래쪽 합은 마지막 항인 제 n항에서부터 공차 d씩 순서대로 빼가면서, 더하는 순서를 거꾸로 해주는 것 뿐이에요~ .. 공감수 14 댓글수 0 2019. 4. 7.
[수학1] 자연수 거듭제곱의 합 (시그마 공식) 유도 이 세가지 계산에 대한 증명을 해보도록 하겠습니다! 일단 저 세가지가 어떤 것인지부터 알아야죠~ 왼쪽부터 순서대로, 요런 녀석들을 계산하게 해주는 식들이랍니다! 우선 결과부터 쭈욱 보여드릴게요~ 자 그럼 순서대로 유도해보도록 할게요! -1. 자연수 n의 총 합 우선 n까지의 자연수의 총 합 S는 위와 같이 나타낼 수 있겠죠? 그런데, 아래처럼 순서를 바꿔도 당연히 값은 S 그대로겠죠~ 여기서 이 두 녀석을 더해보면, 이렇게 신기하게도 전부 n+1이 나오네요! 근데 이 녀석들이 n개 있는 게 되는 것이니, 요렇게 간단하게 나타내줄 수 있겠죠? .. 공감수 37 댓글수 0 2019. 4. 7.
[기초행렬] 5. 곱셈의 성질과 단위행렬 (이전 강의) https://sseong40.tistory.com/7 ※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다. 앞선 글에서 덧셈의 항등원과 역원에 대하여 다루어보았습니다! 이번에는 곱셈에 대해서도 다루어봐야겠죠? 바로 시작해보도록 합시다! -곱셈의 항등원(단위행렬) 단위행렬이라는 녀석은 아주 간단합니다! 어떤 행렬 A에 이 단위행렬 E를 곱해서 행렬 A가 나오도록 해주는 행렬을 말하지요~ 단위행렬은 다음과 같은 녀석들입니다! 각각 1차,2차,3차 단위행렬이라고 불러요~ 행이 1개인 녀석은 1차, 2개인 녀석은 2차,3개는 3차에 곱해주시는 방식이면 되겠습니다! .. 공감수 2 댓글수 0 2019. 4. 7.
[기초행렬] 4. 덧셈의 성질과 연산 (이전 강의) https://sseong40.tistory.com/6 ※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다. 지금까지 행렬의 덧셈에 대하여 다루어 본 것들 기억나시나요? 이제 몇가지 개념을 좀 더 쌓아봅시닷 -덧셈의 항등원(영행렬) 영행렬이라는 친구는, 행렬의 덧셈에서 항등원인 친구입니다! 어떤 행렬 A에 영행렬 O를 더해도, 그 값은 그대로 행렬 A가 되는 그런 행렬이지요~ 그렇다면 영행렬의 모든 성분은 반드시 0이 되어야 하겠네요! 만약 위와 같은 행렬 A가 있다면, 행렬 A의 영행렬은 아래와 같겠지요~ 그러니까 정리해드리자면, 영행렬 : 모든 성분이 0.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[기초행렬] 3. 행렬의 의의 (이전 강의) https://sseong40.tistory.com/5 지금까지 행렬과 관련된 기초적인 것들을 공부해보았는데요! '왜 굳이 이런걸 만들어.. 곱셈도 머리 아프고..ㅠㅜ' 다들 이랬을거라 생각을 합니다 히히.. 나도 그랬으니까..! ㅋㅋ 이 녀석을 왜 해야하는지도 모르는데, 하려는 의지가 나기는 좀 힘들지요..ㅠㅠ 그래서 이번 글에서는 '왜!' 행렬이 중요하며, 반드시 해야하는 것인지를 알아볼거에요! -행렬의 의의 행렬이라는 녀석은 연립방정식과 아주아주 밀접한 관련이 있답니다! 연립방정식의 해법을 쉽게 제시해주는 녀석이 바로 행렬이고, 애초에 행렬의 탄생 원인도 연립방정식 때문이라서 그래요~ 우선 좀 복잡해보이.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[기초행렬] 2. 행렬의 연산 (이전 강의) https://sseong40.tistory.com/4 다음으로 행렬의 연산을 다뤄보도록 할까요? 우선, 덧셈과 뺄셈에 대하여 알아봅시닷 -행렬의 덧셈과 뺄셈 일단 간단하게 요런 행렬을 잡아보겠어요! 뭐.. 2×3이나 6×5나 다 가능한건 마찬가지~ 여기서 행렬의 덧셈과 뺄셈의 계산은 다음과 같이 정의됩니다! 그러니까 쉽게 말씀드리면, (1,1) 성분은 (1,1)이랑 , (2,3)은 (2,3)이랑 계산해주는 식으로 가면 됩니다! 여기서 덧붙이자면 행렬의 덧셈과 뺄셈이 존재하기 위한 조건은, '두 행렬의 행의 수와 열의 수가 같다.' 즉, '두 행렬의 모양이 같다' 라는 조건이 붙어줘야 하겠네요~ (각.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[기초행렬] 1.행렬의 정의 어디선가 들어본 듯해도 생소할 수 있는 개념, 행렬입니다! 언젠지는 모르겠는데 고등수학에 행렬이 빠졌다고 그러드라구요.. (오열 ㅠㅠ 이 좋은 개념 썩혀둘 수는 없어서 싸들고 왔지요!! 행렬의 기초부터 하나하나씩 다져나가보도록 하겠습니다~ -행렬의 정의 일단 행렬이라는 녀석은 요렇게 생겨먹었습니다! 뭔가 음..2차원스럽고 쫌 신박해보이네요 ㅇㅇ 우선 용어 정리부터 해봅시닷~ 1.행렬 안의 구성원들 : '성분(entry)' , '항 , 원소(element)' 2. 가로줄 : '행 (row)' 3. 세로줄 : '열 (column)' (Column은 기둥이라는 의미도 있지요~ 처음에 행과 열이 혼동될 수 있는데 저는 이렇.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 4. 7.
[대수학&정수론]유클리드 호제법의 증명 ※이 글을 읽기 전에 알아야 할 기호 gcd : '최대공약수'의 기호입니다. 표기 예시를 들어보자면, gcd(x,y)는 x와 y의 최대공약수 gcd(l,m,n)은 l,m,n의 최대공약수 p.s.최소공배수는 lcm이고 쓰는 법은 같아요~ 유클리드 호제법이란? 뭔가 이름만 들어도 여러모로 머리가 아픈 유클리드 호제법! 유클리드 호제법은 두 다항식 또는 자연수 사이의 최대공약수를 구할 때 자주 등장하는 유용한 녀석이에요! (물론 수학 교육 과정에는 없습니다 쿨럭) 정수론 공부나 KMO 준비를 하시는 분들은 다들 한 번씩 접해보셨을 편리한 도구인데요! 일단 증명은 아래로 미루고 결과를 먼저 보도록 합시다앗! "a>.. 공감수 19 댓글수 1 2019. 4. 7.
[고등수학]자연 상수 e에 대하여 알아보자! 자연 상수 e, 고등 미적분 파트에서 접하게 되는 중요한 수학적인 상수! 지수 함수 혹은 로그 함수의 미적분 과정에서 대표적으로 자주 거론되는, 여러모로 핵심적인 부분을 맡고 있는 자연 상수를 한 번 파헤쳐봅시닷!ㄱㄱ 먼저 정의를 툭 던져드려보자면.. 앗..아아 죄송해요 아직 나가지 말아주세요ㅠㅠ 차차 설명드리겠습니다 (찡긋) 자연 상수의 계산 우선 자연 상수는 '복리' 의 계산에서 언급되어지기 시작했습니다. 복리는 일종의 이자 계산법입니다. 예를 들어보죠! A가 은행에 예금을 넣고 1년 뒤 원금의 100%를 이자로 받기로 해봅시다!(헐 개쩐다) 1만원을 넣었다고 했을 때, 1년 뒤에는 총 금액이 다음과 같아집.. 공감수 35 댓글수 1 2019. 4. 6.

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