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- 2019.04.06 [고등수학]자연 상수 e에 대하여 알아보자! 1
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고등 미적분 파트에서 접하게 되는
중요한 수학적인 상수!
지수 함수 혹은 로그 함수의 미적분 과정에서 대표적으로 자주 거론되는,
여러모로 핵심적인 부분을 맡고 있는 자연 상수를 한 번 파헤쳐봅시닷!ㄱㄱ
먼저 정의를 툭 던져드려보자면..
차차 설명드리겠습니다 (찡긋)
자연 상수의 계산
우선 자연 상수는 '복리' 의 계산에서 언급되어지기 시작했습니다.
복리는 일종의 이자 계산법입니다.
예를 들어보죠!
A가 은행에 예금을 넣고
1년 뒤 원금의 100%를 이자로 받기로 해봅시다!(헐 개쩐다)
1만원을 넣었다고 했을 때,
1년 뒤에는 총 금액이 다음과 같아집니다.
원금 1만원에다가,
원금×이자율 즉 이자가 1만원×100%=1만원!
이제 원금에 이자까지 더하면 1년 뒤의 총 금액을 계산할 수 있겠네요!
자,여기서 우리 한 번 은행에 이벤트를 진행해봅시닷 (..?)
12개월 뒤에 100%가 딱 생기는 거에서
6개월 뒤에 50%,6개월 뒤에 50%로 두 번에 걸쳐서 받을 수 있게 규칙을 바꿨습니다!
이 규칙을 적용했을 때의 계산식도 어렵지 않게 아래처럼 구해집니다.
원금 1과 이자 1×50%=0.5의 합인
1.5로 계산될 수 있는 것 이해되시지요?
이 1.5가 또 다시 50% 증가해주면 되는 것이기 때문에,
1+50%=총 150%를 다시 곱해 다음과 같은 식이 만들어지게 됩니다.
좀 다르게 표현해본다면 아래와 같겠네요.
자 머리가 좋은 여러분들은 3번째로 뭘 해야할지 감이 오실 거에요.
1번째에는 100%를 한 번에 1만큼,
2번째에는 100%를 두 번에 1/2만큼씩,
즉 3번째에는 100%를 세 번에 1/3만큼씩
이겠지요?
그렇게 되면 당연스레 3번째에는 아래와 같은 계산식을 얻을 수 있어요.
(저기 물결이 넘실거리는 등호는
양변의 값이 비슷하다는 뜻의 기호에요.)
4번째 한 번에 그냥 가봅니다앗!
제가 좀 계산해드릴게욧
5번째,
어엇..뭐지? 점점 어느 숫자에 수렴하고 있는 것으로 보이죠?
이제 무한 번만큼 죤내 많이 곱하자!
n번째로 바꿔버린 다음 n을 무한으로 보낸다고 해주면,
바로 우리가 원하고 있는 자연 상수 e가 계산되는 것입니다앗!
이제 자연 상수를 계산해보았으니,
자연 상수가 가지는 의의에 대해서 말씀 드려볼게요~
p.s.시험에 의의 안 나온다고 갖다버리는 학생들 있는데 수학이라는 학문에서 상당히 중요한 부분이 바로 이런 부분입니다. 그냥 계산만 아는게 잘 아는 것이 절대 아닙니다.
자연 상수의 의의
일단 결론부터 말씀드리자면,
"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"
'이게 뭔 개소리일까 ㅎㅎ죤내 어이가 없다..'
싶지요? 아까부터 결론 먼저 던져서 멘붕드린 점 사과드립미다 주르륵..
일단 하나 하나 뜯어보자면,
"100%의 성장률을 가지고"
우리가 처음에 복리 얘기를 할 때에,
100%만큼 증가하는 걸로 정해두었지요?
자연 상수가 성장률 100%를 기준으로
만들어진 상수이기 때문에 저런 말을 한 겁니다!
"1회 연속 성장할 때"
100%를 연속 성장한다는 것이 무슨 의미냐면,
한 번 예를 들어 100원을 생각해봅시다.
1. 100%를 1번에,즉 100%를 계산하면 200원입니다.
2. 2번에 계산하면, 즉 50%,50%를 계산하면 225원입니다.
이 두 친구는 모두 불연속 성장을 한 겁니다.
딱 딱 끊겨서 증가하는 포인트가 보이기 때문에, 이를 불연속으로 성장한다고 하는 것이지요!
그러면 좀 더 부드럽게 하려면,
나누는 수, 즉 계산 횟수를 늘려주면 점점 더 부드럽게 계산되겠지요?
(횟수가 늘어날수록 각 포인트마다 증가하는 정도가 줄어들어서 부드러워지는 거지요!)
이해를 돕기 위해 그림을 좀 넣어볼까요?
즉 계산 횟수가 늘어날수록,
결론적으로 횟수 n이 무한대에 가까워질수록, 부드러워지게 되는겁니다!
따라서 n이 무한대로 갈 적의 성장을
'연속 성장'
이라고 말해줄 수 있는 거에요.
따라서,
'1회 수행된 연속 성장의 비율'
로 볼 수 있겠지요!
(2회 수행되면 당연히 자연 상수 e를 두 번 곱한 e의 제곱(e^2)이 성장 비율이 되겠네요~)
"최대로 성장할 수 있는 비율"
당연스레 1회 연속 성장의 비율을 초과해서
1회 연속 성장이 될 수 없으니까요!
당연한 말이라고 보시면 됩니다!
(우리가 지수 혹은 로그 함수의 미적분을 공부할 때 수도 없이 튀어나오는 자연 상수도, 이런 자연스러운 증가율의 의의를 가지다 보니 계속해서 엮여나오는 것으로 볼 수 있겠어요!)
이제 이해되셨나요?
"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"
지금까지 어려웠던 내용 읽어주신 여러분께 수고하셨다고 전해드리고 싶습니다~
작성한 내용 중 이해가 힘든 부분은 혼자 끙끙대지 마시고 댓글로 물어보셔도 돼요!
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