썽

자연 상수 e,
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고등 미적분 파트에서 접하게 되는
중요한 수학적인 상수!
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지수 함수 혹은 로그 함수의 미적분 과정에서 대표적으로 자주 거론되는,
여러모로 핵심적인 부분을 맡고 있는 자연 상수를 한 번 파헤쳐봅시닷!ㄱㄱ
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먼저 정의를 툭 던져드려보자면..

앗..아아 죄송해요 아직 나가지 말아주세요ㅠㅠ
차차 설명드리겠습니다 (찡긋)
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자연 상수의 계산​
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우선 자연 상수는 '복리' 의 계산에서 언급되어지기 시작했습니다.
복리는 일종의 이자 계산법입니다.
예를 들어보죠!
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A가 은행에 예금을 넣고
1년 뒤 원금의 100%를 이자로 받기로 해봅시다!(헐 개쩐다)
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1만원을 넣었다고 했을 때,
1년 뒤에는 총 금액이 다음과 같아집니다.

쉽게 이해하셨을 거에요.
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원금 1만원에다가,
원금×이자율 즉 이자가 1만원×100%=1만원!
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이제 원금에 이자까지 더하면 1년 뒤의 총 금액을 계산할 수 있겠네요!
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자,여기서 우리 한 번 은행에 이벤트를 진행해봅시닷 (..?)
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12개월 뒤에 100%가 딱 생기는 거에서
6개월 뒤에 50%,6개월 뒤에 50%로 두 번에 걸쳐서 받을 수 있게 규칙을 바꿨습니다!
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이 규칙을 적용했을 때의 계산식도 어렵지 않게 아래처럼 구해집니다.

첫 번째 1+1×50%는 당연히도,
원금 1과 이자 1×50%=0.5의 합인
1.5로 계산될 수 있는 것 이해되시지요?
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이 1.5가 또 다시 50% 증가해주면 되는 것이기 때문에,
1+50%=총 150%를 다시 곱해 다음과 같은 식이 만들어지게 됩니다.
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좀 다르게 표현해본다면 아래와 같겠네요.

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자 머리가 좋은 여러분들은 3번째로 뭘 해야할지 감이 오실 거에요.
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1번째에는 100%를 한 번에 1만큼,
2번째에는 100%를 두 번에 1/2만큼씩,
즉 3번째에는 100%를 세 번에 1/3만큼씩
이겠지요?
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그렇게 되면 당연스레 3번째에는 아래와 같은 계산식을 얻을 수 있어요.

쉽게 이해되시죠?
(저기 물결이 넘실거리는 등호는
양변의 값이 비슷하다는 뜻의 기호에요.)
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4번째 한 번에 그냥 가봅니다앗!

자아 여러분은 계산을 존내 시러하니까
제가 좀 계산해드릴게욧
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5번째,

10번째,

10000번째,

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어엇..뭐지? 점점 어느 숫자에 수렴하고 있는 것으로 보이죠?
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이제 무한 번만큼 죤내 많이 곱하자!
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아예 100번째 1000번째 같은 건 그만두고,
n번째로 바꿔버린 다음 n을 무한으로 보낸다고 해주면,
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바로 우리가 원하고 있는 자연 상수 e가 계산되는 것입니다앗!

이제 자연 상수를 계산해보았으니,
자연 상수가 가지는 의의에 대해서 말씀 드려볼게요~
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p.s.시험에 의의 안 나온다고 갖다버리는 학생들 있는데 수학이라는 학문에서 상당히 중요한 부분이 바로 이런 부분입니다. 그냥 계산만 아는게 잘 아는 것이 절대 아닙니다.
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자연 상수의 의의
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일단 결론부터 말씀드리자면,
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"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"​
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'이게 뭔 개소리일까 ㅎㅎ죤내 어이가 없다..'
싶지요? 아까부터 결론 먼저 던져서 멘붕드린 점 사과드립미다 주르륵..
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일단 하나 하나 뜯어보자면,
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"100%의 성장률을 가지고"
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우리가 처음에 복리 얘기를 할 때에,
100%만큼 증가하는 걸로 정해두었지요?
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자연 상수가 성장률 100%를 기준으로
만들어진 상수이기 때문에 저런 말을 한 겁니다!
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"1회 연속 성장할 때"​
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100%를 연속 성장한다는 것이 무슨 의미냐면,
한 번 예를 들어 100원을 생각해봅시다.
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1. 100%를 1번에,즉 100%를 계산하면 200원입니다.
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2. 2번에 계산하면, 즉 50%,50%를 계산하면 225원입니다.
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이 두 친구는 모두 불연속 성장을 한 겁니다.
딱 딱 끊겨서 증가하는 포인트가 보이기 때문에, 이를 불연속으로 성장한다고 하는 것이지요!
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그러면 좀 더 부드럽게 하려면,
나누는 수, 즉 계산 횟수를 늘려주면 점점 더 부드럽게 계산되겠지요?
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(횟수가 늘어날수록 각 포인트마다 증가하는 정도가 줄어들어서 부드러워지는 거지요!)
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이해를 돕기 위해 그림을 좀 넣어볼까요?
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자아 딱 딱 되는 점이 늘어날수록,
즉 계산 횟수가 늘어날수록,
결론적으로 횟수 n이 무한대에 가까워질수록, 부드러워지게 되는겁니다!
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따라서 n이 무한대로 갈 적의 성장을
'연속 성장'​
이라고 말해줄 수 있는 거에요.
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따라서,

에서 n을 무한대로 보낼 때의 값을
'1회 수행된 연속 성장의 비율'​
로 볼 수 있겠지요!
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(2회 수행되면 당연히 자연 상수 e를 두 번 곱한 e의 제곱(e^2)이 성장 비율이 되겠네요~)
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"최대로 성장할 수 있는 비율"​
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당연스레 1회 연속 성장의 비율을 초과해서
1회 연속 성장이 될 수 없으니까요!
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당연한 말이라고 보시면 됩니다!
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(우리가 지수 혹은 로그 함수의 미적분을 공부할 때 수도 없이 튀어나오는 자연 상수도, 이런 자연스러운 증가율의 의의를 가지다 보니 계속해서 엮여나오는 것으로 볼 수 있겠어요!)
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이제 이해되셨나요?

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"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"​
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지금까지 어려웠던 내용 읽어주신 여러분께 수고하셨다고 전해드리고 싶습니다~
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작성한 내용 중 이해가 힘든 부분은 혼자 끙끙대지 마시고 댓글로 물어보셔도 돼요!
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