​​ 썽 :: [수학1] 수열의 합 공식 유도

[수학1] 수열의 합 공식 유도

수학 2019. 4. 7. 21:34

결과만 원하시는 분들을 위해..(왼쪽부터 등차,등비)

고등학교에서 배우는 대표적인 수열로는

등차수열과 등비수열이 있겠는데요!

이 두가지 수열들의 총합을 계산하는

공식을 한 번 유도해봅시다~

-1.등차수열의 합 공식 유도

우선 등차수열의 합 공식부터 유도해볼까요?

일단 제 1항부터 제 n항까지의 등차수열 합은

다음과 같이 나타나요!

제 1항부터 제 n항까지의 값을

순서대로 쭈욱 더했습니다~

그런데 여기서 합을 쪼금 달리 표현해볼게요!

a는 첫 항인 제 1항, 값은 a+(1-1)d=a

l은 마지막 항인 제 n항, 값은 a+(n-1)d

저기서 아래쪽 합은 마지막 항인 제 n항에서부터

공차 d씩 순서대로 빼가면서,

더하는 순서를 거꾸로 해주는 것 뿐이에요~

여기서 이 두 녀석을 더해보았습니다!

흥미롭게도 모두 a+l 이라는 값이..!

그런데 이 a+l이 총 n개 있는 것이므로,

(a+l)×n개 , 즉 n(a+l)로 나타내줄 수 있겠죠?

그럼 여기서 2를 나눠주면 총 합 S 유도 끝~

여기서 쪼금 더 가보자면,

마지막 항인 제 n항의 값은

a+(n-1)d라고 제가 말씀 드렸죠?

그 녀석을 대입해주면 저렇게 나와요~

둘 다 암기하고 계셔야 합니닷

-2.등비수열의 합 공식 유도

비슷한 흐름으로,

등비수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합은

다음과 같이 나타나요!

여기서, 총 합 S에 r을 곱해주시면

아래와 같은 결과가 나오는 것 쉽게 이해되시죠?

위의 녀석에서 아래를 빼보았습니다~

위와 같이 소거되니까

남는 녀석은 아래와 같게 나오겠네요!

( 좌변은 S-rS니까 S로 묶어주시면

(1-r)S 입니닷 )

여기서 또 S에 대해 식을 바꿔주시면

다음과 같은 결과가 도출됩니다!

그런데 1-r을 나누려면,

r이 1이 아니라는 조건이 있어야겠죠?

그렇다면 r=1일 때는 어떨까요?

r=1이라면 이렇게 아주 간단히 나오네요!


예제1)다음 수열의 제 1항부터 제 15항까지의

총 합은 얼마인가?

예제2)다음 수열의 제 3항부터 6항까지의

총 합은 얼마인가?

답 :

1. 공식을 그대로 이용한다.

2. 제 6항까지의 합 - 제 2항까지의 합.

 

posted by yuseong40