[기초행렬] 5. 곱셈의 성질과 단위행렬

(이전 강의)

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※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다.

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앞선 글에서 덧셈의 항등원과 역원에 대하여

다루어보았습니다!

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이번에는 곱셈에 대해서도 다루어봐야겠죠?

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바로 시작해보도록 합시다!

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-곱셈의 항등원(단위행렬)

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단위행렬이라는 녀석은 아주 간단합니다!

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어떤 행렬 A에 이 단위행렬 E를 곱해서 행렬 A가 나오도록 해주는 행렬을 말하지요~

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단위행렬은 다음과 같은 녀석들입니다!

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각각 1차,2차,3차 단위행렬이라고 불러요~

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행이 1개인 녀석은 1차,

2개인 녀석은 2차,3개는 3차에

곱해주시는 방식이면 되겠습니다!

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예시를 하나 들어볼까요?

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다음과 같은 행렬 A의 단위행렬이 뭘까요?

행이 2개니까 2차 단위행렬에 해당하네요~

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그러면 정말 항등원이 맞는지 직접 곱해보죠!

오호, 정말 그렇게 나오네요!

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( 1이 살려줄 성분 한 가지만 살리고,

남은 자리의 0들이 나머지 성분들을 없애주는

모습이 보이신가요? )

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이렇게 해서 단위행렬에 대해 알아보았으니,

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다음으로 곱셈의 역원, 역행렬을 알아보죠!

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-곱셈의 역원(역행렬)

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곱셈에도 당연히 역원이 존재합니다!

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행렬 A의 역행렬은

으로 표기해줍니다~

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역원의 정의에 따라 행렬 A에 역행렬을 곱하면,

당연히 항등원인 단위행렬이 나와야겠지요?

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그렇다면 이 사실을 이용해서

역행렬을 공식으로 유도해보려고 했지만..!

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글이 너무 어렵고 길어질 것 같아서

2×2행렬의 경우만 써드리도록 하겠습니닷..ㅠㅠ

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(det, adj 같은 녀석들이 나오는지라..)

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-2×2 행렬의 역행렬 공식 유도​

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우선 행렬 A과 그 역행렬 X를 잡아줍시다~

요렇게 말이지요!

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여기서 이 둘을 곱하게 되면,

행렬×역행렬이니까 당연히 단위행렬이 나오겠네요~

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그렇게 식을 세워서 계산을 해봅시닷

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세워서 계산하니까 요렇게 나오는군요!

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그런데 저 녀석이 성립하려면,

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각 성분이 같아야 하는거 아니겠어요?

따라서 위와 같은 식이 성립해야 하네요!

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이 네가지 식을 이용해서,

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역행렬의 성분인 w,x,y,z를 a,b,c,d에 관한

식으로 나타낼 수 있어요!

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w를 그렇게 구해볼까요?

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그러면 다음과 같은 결과가 나와요!

나머지 x,y,z 도 같은 방법으로 풀 수 있어요!

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그래서 이렇게 구한 w,x,y,z를 모두 대입하면,

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이렇게 나오게 되네요!

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이렇게 해서 2×2 행렬의 역행렬 공식을

유도해내었습니다~

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그런데 저기서 분모 ad-bc=0이면,

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즉, ad=bc이면 말이 안되는 거잖아요?

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따라서 ad=bc인 2×2행렬은 역행렬을

가지지 못합니다 ㅠㅠ

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(여기서 ad-bc를 판별식,

ad≠bc라서 역행렬을 가지는 녀석들을

가역행렬 이라고 부릅니닷!)

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-역행렬의 성질

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앞서 배운 역행렬은 다양한 성질을

가지고 있는데요!

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하나씩 알아보도록 하죠~

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일단 기본적으로 위의 3가지는

알아두시는 게 좋을 것 같아요!

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1 :

이건 그냥 역행렬의 정의죠? ㅋㅋ

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2 :

뒤집은 놈을 또 뒤집으면 당연히 원래대로~

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3 :

행렬의 곱셈은 교환법칙이

성립하지 않기 때문에 이런 형태에요!

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우변에 행렬 AB를 곱해보시면

금방 알 수 있겠네요~

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위처럼 곱해보시면 둘 다 성립!

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앞서 언급한 것에도 나오듯

아주 중요한 사실은,

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교환법칙과 결합법칙이

둘 다 성립하는 행렬의 덧셈과는 달리,

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행렬의 곱셈은 결합법칙은 성립하지만

교환법칙이 성립하지 않아요!​

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(AB≠BA라는 소리,

이는 반례를 찾아 쉽게 증명 가능합니다!)

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대신 단위행렬 E와 행렬 A의 곱은

교환법칙이 성립합니다~

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(이 역시 계산으로 쉽게 알 수 있겠죠!)

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예제1) 다음을 증명하라.

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예제2)다음 행렬 A의 역행렬을 구하라.

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예제3)다음 행렬의 역행렬이 존재하는가?

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답 :

1.양변을 각각 행렬의 곱셈을 취하면

쉽게 증명 가능하다.

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2.

3. O , X