[수학1] 자연수 거듭제곱의 합 (시그마 공식) 유도

 

이 세가지 계산에 대한 증명을 해보도록

하겠습니다!

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일단 저 세가지가 어떤 것인지부터 알아야죠~

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왼쪽부터 순서대로,

요런 녀석들을 계산하게 해주는

식들이랍니다!

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우선 결과부터 쭈욱 보여드릴게요~

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자 그럼 순서대로 유도해보도록 할게요!

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-1. 자연수 n의 총 합

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우선 n까지의 자연수의 총 합 S는 위와 같이

나타낼 수 있겠죠?

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그런데, 아래처럼 순서를 바꿔도 당연히

값은 S 그대로겠죠~

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여기서 이 두 녀석을 더해보면,

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이렇게 신기하게도 전부 n+1이 나오네요!

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근데 이 녀석들이 n개 있는 게 되는 것이니,

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요렇게 간단하게 나타내줄 수 있겠죠?

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여기서 양변에 2를 나눠주시면

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다음과 같이 나오네요!

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그런데 저 S가 앞서 말씀드린대로

자연수 n까지의 총합이 되는 것이니,

요렇게 되는 것이겠네요!

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이렇게 해서 첫번째 공식의 증명 완료~

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2.자연수 n의 제곱의 총 합​

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바로 다음 녀석으로 넘어가보도록 하죠!

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이번에는 위의 식을 써먹어서

증명을 하려고 합니다!

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(저거 이해 안되시진 않겠죠..?

그냥 좌변을 전개해서 우변이 나오는 것!)

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일단 1부터 n까지 각각 대입해서,

전체 식의 총 합을 표현해봅시다!

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이제 이 녀석들을 더하는 작업을 하면 되는데,

좌변이 저런 식으로 깔끔히 소거되죠?

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계속 이어가봅시다~

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그러면 당연히 이렇게 나오겠네요!

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음..우변이 조금 헷갈릴 수 있는데,

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첫번째 항 :

두번째 항 :

세번째 항 :

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위와 같은 녀석들입니다~

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이렇게 보시면 이해가 금방 되실거에요!

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좌변은 그냥 계산하시면 되고,

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우변의 세번째 항은 1을 n번 더했기 때문에

1×n 하셔서 n이 나오게 됩니다!

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그런데 아까 말씀드렸다시피,

요렇다고 유도해드렸죠?

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이 녀석을 저기 대입해주시면,

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요렇게 되네요~

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이제 저 시그마가 붙은 식에 대하여

정리해보도록 하겠습니다!

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(단순 계산이에욧)

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자 이렇게 유도를 해냈습니다!

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3.자연수 n의 세제곱의 총 합

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이제 마지막 공식이네요!

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이번엔 위의 녀석을 이용~

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아까랑 정말 비슷한 흐름이에요!

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여기서 또 1부터 n까지 대입하시면,

요렇겠죠?

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이 친구들을 모조리 더해봅시다!

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그러면 좌변이 요렇게 소거되면서

간단히 표현됩니다!

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이제 모두 더한 식을 표현해주시면,

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위와 같겠네요!

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우변은 이제 간단히 이해되시죠?

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(안되면.. ㅂㄷㅂㄷ)

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좌변을 쫌 정리했어요~

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이제 여기서 아까 구한 두 녀석들을

그대로 대입해봅시다!

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그럼 요렇게 나오겠네요!

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이제 얘를 시그마 식에 대해 정리해주면,

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이번에도 간단히 유도 끝!

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오류 있거나 궁금한 점 있으신 분들

댓글로 언제든지 환영이에요~

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그럼 빠이! 😘