[미분적분학] 테일러 급수 유도

※이 내용을 이해하기 위해서는 고등 미적분을

보고 오셔야 합니다!

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테일러 급수

위의 살벌한 녀석은 바로 테일러 급수!

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초월함수들을 다항함수로 바꿔서

계산을 용이하게 해주는,

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수학에서 광범위하게 쓰이는 중요한 녀석이죠~

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바로 유도에 들어가보도록 하겠습니닷

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-테일러 급수의 유도

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우선은 어떤 복잡한 함수 f(x)를

저런 형태의 다항함수로 분해하려고 합니다!

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우선 조건을 좀 걸어줄게요~

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-함수 f(x)는 x=a에서 무한 번 미분 가능하다.​

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참고로 여기서, 일반적인 다항함수인

a+bx+cx^2 ...로 두지 않고 저렇게 둬도

괜찮을까 생각이 들 수도 있는데요!

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저 다항식은 결론적으로는 모두 전개하면,

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아래와 같은 일반적인 다항함수가 나오는 거

이해되시죠?

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저런 형태로 유도한 뒤에 그냥 전개해버리면

되는 문제니까,

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그냥 편의상 모양을 저렇게 잡아준거다~

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라고 생각하시면 되겠습니다!

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그러면 함수 f(x)에 a를 대입해볼까요?

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그러면 결과는 위와 같이 나오게 되겠네요~​

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여기서, 이 함수 f(x)를 미분해봅시다!

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그러면 미분된 함수 f'(x)는 위와 같겠죠?​

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계속해서 또 a를 대입!​

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이번에는 미분한 함수를 또 미분해서,

2회 미분합니다!​

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이번에는 대입하니 이렇게 나오네요!​

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마찬가지로, 3회 미분에 a를 대입해주시면

위와 같은 답이 나오게 됩니다!​

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지금까지 나온 결과값들을 쭈욱 나열해서

c들에 대하여 정리했습니다!

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( ex)f'''(a)=3!×c_2 를 c_2에 대해 정리하면,

c_2=f'''(a)/3! )

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이제 규칙이 확연히 보이시죠?

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아까 제가 잡아둔 다항함수 식에 c들의 값을

모조리 대입해보았습니다!

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대입해준 녀석들을

시그마를 이용해 묶어주었어요!

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이렇게 테일러 급수를 유도해냈습니다~

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(앞서 말씀드렸지만,

f(x)가 x=a에서 무한 번 미분 가능해야합니다!

그래야 f의 1,2,3...∞차 미분이 존재..)

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-맥클로린 급수

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테일러 급수에서 a=0인 특별한 경우의 급수를,

맥클로린 급수라고 합니다!

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식은 아래와 같겠네요~

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맥클로린 급수

a=0을 대입해준 것 뿐!

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어렵지 않죠?

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(이 녀석도 당연히 x=0 무한 번 미분 가능해야..!)

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예제1)다음 함수를 테일러 급수로 변환하라.

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답 :

1.

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