[수학1] 그 외 유용한 시그마 공식 유도

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이번에는 요 녀석들을 유도해볼까 합니다!

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1.제곱수의 시그마 공식

우선 요 녀석을 증명합시다~

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좌변은 아래와 같이 나타낼 수 있겠지요?

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(요거 시그마 연산의 성질입니다!

저렇게 분배해주거나, k랑 관련 없는 녀석들은

밖으로 빼고 하는 게 가능~)

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여기서, 우리가 앞서 배운

자연수 총 합의 공식을 대입해줍시다!

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또한, 1을 n번 더한 것은 n이라고 말씀드렸죠?

이 녀석 역시 대입~

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그럼 요렇게 간단히 표현됩니다!

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이 녀석을 쫌 정리해주면 n^2이 나오는 거

금방 아실거에요~

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그러면 결국 n^2이 좌변의 결과가 된다는

것이로군요!

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이렇게 첫 번째 증명은 끝~

어렵지 않죠?

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2. k(k+1) 시그마 공식

이 친구도 한 번 유도해봅시닷

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얘도 그냥 시그마의 연산을 해준거 뿐이지요!

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그냥 단순하게 분리만 좀 해줬습니다~

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이제 여기에서,

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우리가 앞서 유도한 자연수 제곱의 총 합 공식과

자연수의 총 합 공식을 대입해주면,

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다음과 같겠네요~

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여기서 이 친구를 쫌 정리해주면 요렇게

나오게 되네요!

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이렇게 해서 두 번째까지 증명 완료~

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3.k(k+1)(k+2)시그마 공식

마지막으로 얘를 증명해볼 차례네요!

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이번에도 역시, 앞서 증명 방법과

상당히 유사하게 흘러가요~

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우선 안의 항들을 모두 전개!

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그 다음에는 우리가 앞서 해준 것처럼

항들을 각각 분리해주었네요~

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그 다음에는 순서대로,

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자연수 세제곱 합,자연수 제곱 합,자연수 합

공식을 대입해줍니닷

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그러면 위와 같겠네요!

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이 녀석을 쫌 계산해줘서

간단히 표현해보았습니다~

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그러면 결과가 위와 같게 나오네요!

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이렇게 마지막 공식까지 간단히 증명👍

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오류나 궁금하신 부분 언제든지 말씀해주세욧

항상 열려있슴다😆

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