[고등미적분] tan x/x , cos x/x 의 극한 유도

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y=tan x/x 의 그래프

 

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이번에는 위의 극한을 한 번 유도해봅시다!

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-tan x/x의 극한 유도

https://sseong40.tistory.com/20

우선 위의 내용을 보고 오셔야 합니다!

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저 글에서 이 부분 기억나시지요?

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sin x/x를 유도할 때에는 sin x을 나누었는데,

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이번에는 tan x를 나누어보도록 할까요?

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그러기 이전에, 이번에도 세타를 다음과 같이

잡아줘볼까요?

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(양수쪽으로 잡았으니, 우극한을 보게 되네요)

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따라서 위와 같이 나눠줄 수 있습니다!

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역수를 취해주면 위와 같이 나오겠지요?

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이 식에서 우극한을 한 번 보내봅시다!

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(처음에 세타를 양수로 잡았으므로,

좌극한은 음수 쪽에서 와야하니까 우극한만 성립)

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그런데 왼쪽 친구는 세타와 관련이 없으니

그대로 1이 나오고,

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오른쪽은 그냥 세타에 0을 대입하면

1이 나오네요!

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그 값들을 대입했습니다~

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따라서 샌드위치 정리에 의해 위와 같네요!

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그런데 tan x/x가 우함수인지 볼까요?

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만약 우함수라면

0에서의 좌극한과 우극한이 대칭이므로,

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좌극한도 1이 되어 결과가 유도되는 겁니다~

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(위의 식은 우함수의 성질인 거 아시지요?

저 식이 성립하면 우함수입니다)

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그렇다면, x와 -x를 대입해준 이 두 식이 같다면

우함수가 되는 것이겠지요?

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그런데 tan x는 기함수이므로

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기함수의 성질에 따라

f(-x) = -f(x)가 성립하게 되기 때문에,

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결국 tan(-x) = -tan(x)가 되어 식이 성립하네요!

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그렇다면 대칭인 좌극한도 위와 같겠지요?

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따라서 우극한과 좌극한이 모두 1이므로,

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위와 같은 결과를 유도해낼 수 있겠네요~

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-cos x/x의 극한은?​

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혹시나 이 친구의 0으로 갈 때의 극한도

1이라고 충분히 착각할 수 있는데요!

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결론부터 말씀드리자면 이 녀석은 발산합니다~

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y=cos x/ x 의 그래프

 

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그냥 x에 0을 대입해주시면,

요렇게 해서 발산입니다~

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절대 착각하지 마시길!

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오류 지적과 질문 대환영👌

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