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- 2019.04.07 [기초행렬] 3. 행렬의 의의
- 2019.04.07 [기초행렬] 2. 행렬의 연산
- 2019.04.07 [기초행렬] 1.행렬의 정의
- 2019.04.07 [대수학&정수론]유클리드 호제법의 증명 1
- 2019.04.06 [고등수학]자연 상수 e에 대하여 알아보자! 1
글
(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/5
지금까지 행렬과 관련된 기초적인 것들을
공부해보았는데요!
'왜 굳이 이런걸 만들어..
곱셈도 머리 아프고..ㅠㅜ'
다들 이랬을거라 생각을 합니다 히히..
나도 그랬으니까..! ㅋㅋ
이 녀석을 왜 해야하는지도 모르는데,
하려는 의지가 나기는 좀 힘들지요..ㅠㅠ
그래서 이번 글에서는 '왜!' 행렬이 중요하며,
반드시 해야하는 것인지를 알아볼거에요!
-행렬의 의의
행렬이라는 녀석은 연립방정식과
아주아주 밀접한 관련이 있답니다!
연립방정식의 해법을 쉽게 제시해주는
녀석이 바로 행렬이고,
애초에 행렬의 탄생 원인도 연립방정식
때문이라서 그래요~
우선 좀 복잡해보이는 연립방정식을
하나 예시로 들어볼까요?
요 녀석으로 해볼게요~
일단 답부터 보죠!
이 친구를 행렬로 옮겨주시며는
요렇게 된답니다!
왜 이렇게 되는지는,
저 친구를 직접 곱새보면 알 수 있겠네요~
우리가 앞서 배운 행렬의 곱셈을 이용하면,
요렇게 나오게 되는거 쉽게 이해되시죠?
이제 여기서 저 두 행렬이 같기 위해서는,
각각의 성분이 같아야 되겠지요~
그러면,
이런 조건이 생기겠네요!
어라? 그런데 이 친구는..
앞서 있었던 연립방정식과 같은 조건이네요?
네 맞습니닷!
행렬은 연립방정식을 풀기 위한 도구기 때문에
다음과 같이 표기해서 연산을 하면,
연립방정식의 해를 구할 수 있도록
정의해둔 것입니다!
결론적으로 말씀드릴 것은,
'행렬은 연립방정식을 쉽게 풀어내는 아주 유용한 도구로 쓰일 수 있다.'
가 되겠습니닷~
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/7
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글
(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/4
다음으로 행렬의 연산을 다뤄보도록 할까요?
우선, 덧셈과 뺄셈에 대하여 알아봅시닷
-행렬의 덧셈과 뺄셈
일단 간단하게 요런 행렬을 잡아보겠어요!
뭐.. 2×3이나 6×5나 다 가능한건 마찬가지~
여기서 행렬의 덧셈과 뺄셈의 계산은
다음과 같이 정의됩니다!
그러니까 쉽게 말씀드리면,
(1,1) 성분은 (1,1)이랑 , (2,3)은 (2,3)이랑
계산해주는 식으로 가면 됩니다!
여기서 덧붙이자면
행렬의 덧셈과 뺄셈이 존재하기 위한 조건은,
'두 행렬의 행의 수와 열의 수가 같다.'
즉, '두 행렬의 모양이 같다' 라는 조건이
붙어줘야 하겠네요~
(각각의 성분을 더해주거나 빼주려면,
서로서로 더하거나 뺄 짝이 각각 하나씩
존재해야 하는 거니까요!)
이렇게 덧셈과 뺄셈은 아주 쉽게
이해할 수 있었는데요!
다음으로 곱셈에 대하여 알아보도록 해요~
-행렬의 곱셈
1.상수 × 행렬
아직 여기까지는 그닥 어렵지 않습니다!
잘 보시면 아시겠지만,
분배 법칙 비슷한 느낌으로 흘러가는 거 보이시져?
계산의 예를 들어드리자면 다음과 같겠네요!
더 간편히 나타낼 수 있게 되었네요~
어렵지 않았습니다!
2.행렬 × 행렬
이 친구가 쫌 헷갈리는 녀석인데요..
일단 행렬 A,B를 요렇게 잡아봅시다~
여기서 결론부터 말씀드리자 하면,
어우 복잡해라..
이게 도통 무슨 소리일까.. 하면은!
1행 × 1열 = (1,1) 성분
1행 × 2열 = (1,2) 성분
...
이런 흐름입니다! 아직 잘 모르시겠죠?
그러면 예시를 하나 들어볼까요~
자 숫자를 좀 집어넣어 보았습니다!
저기서 우선 (1,1) 성분을 계산하는 과정을
보도록 할까요?
바로 다음과 같이 계산된답니다~
요 친구를 쫌 분석해드리자면,
행과 열 안에 있는 성분들을
하나씩 짝지어주는 거죠!
1행 : 1이 첫 번째, 3이 두 번째
1열 : 7이 첫 번째, 5가 두 번째
그러면 각각을 하나씩 짝지어줘서
첫째×첫째 + 둘째×둘째를 해주시면,
1×7 + 3×5 = 22가 나오네요!
그런데 이 대응 관계는
1번째 행과 1번째 열의 곱이므로,
(1,1)의 성분으로 집어넣어야겠네요!
같은 맥락에서 곱의 (1,2) 의 성분을 계산해보죠~
자신의 생각과 똑같은지 계산을 봐주세요!
답은 아래와 같습니다~
결론적으로 맨 위에 들어드린 예시의 결과는,
요렇게 될 수 있겠습니닷
정리해드리자면 ,
곱한 결과에서 (m,n) 성분은 m행과 n열의
원소를 각각 짝지어 곱한 뒤 모조리 더한 거다!
이제 곱셈 계산을 이해해보았으니,
곱셈이 성립할 조건도 한 번 볼까요?
제가 앞서 말씀드렸듯이 ,
앞 행렬의 행의 성분 개수와
뒤 행렬의 열의 성분 개수가 같아야만,
각각 짝을 지어 계산을 해줄 수 있는데..
그러면 걍 두 개수가 같으면 성립하겠죠 ㅋㅋ
그런데,
앞 행렬의 행 성분 개수=앞 행렬의 열 개수
뒤 행렬의 열 성분 개수=뒤 행렬의 행 개수
요렇게 되는 건 이해되시죠?
그러니까 결론적으로 곱셈 성립 조건은~
'앞 행렬의 열 개수=뒤 행렬의 행 개수'
가 되겠군요!
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/6
예제1)결과를 계산하라.
예제2) 각각이 정의되는지 아닌지를 밝혀라.
답 :
1.
2.O,X,O
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글
어디선가 들어본 듯해도 생소할 수 있는 개념,
행렬입니다!
언젠지는 모르겠는데 고등수학에 행렬이
빠졌다고 그러드라구요.. (오열 ㅠㅠ
이 좋은 개념 썩혀둘 수는 없어서
싸들고 왔지요!!
행렬의 기초부터 하나하나씩
다져나가보도록 하겠습니다~
-행렬의 정의
일단 행렬이라는 녀석은 요렇게
생겨먹었습니다!
뭔가 음..2차원스럽고 쫌 신박해보이네요 ㅇㅇ
우선 용어 정리부터 해봅시닷~
1.행렬 안의 구성원들 :
'성분(entry)' , '항 , 원소(element)'
2. 가로줄 : '행 (row)'
3. 세로줄 : '열 (column)'
(Column은 기둥이라는 의미도 있지요~
처음에 행과 열이 혼동될 수 있는데 저는 이렇게 알아둬서 안 헷갈렸어요!)
4. m개의 행, n개의 열을 가진 행렬 :
'm×n 행렬'
5.만약 행과 열의 개수가 모두 n개라면? :
n×n 인 정사각형이라서 , 'n차 정사각행렬'
(정방행렬이라고도 합니다!)
6.위에서 아래로 i 번째인 행 : 'i 행'
7.왼쪽에서 오른쪽으로 j 번째인 열 : 'j 열'
8. i 행 j 열에 있는 성분 :
'(i,j) 성분'
ex) 2행 3열이면 (2,3) 성분이라고 함!
(성분 a에서 오른쪽 밑에 ij라고 표시하셔도 됩니다~보편적으로 그렇게 해요!
가끔씩 행렬 A[i,j] 라는 표기도 나오는데 같은 의미에요! 혼란할 필요 ㄴㄴ)
9. i와 j가 같은 성분은? :
(1,1) , (2,2) , (3,3) ... 인데 얘네를 쭉 이어보면
딱 대각선이 나와준다!
따라서 이들은 '대각성분(diagonal entry)'
일단 이 정도만 알아두면 충분하겠네요!
다음 글에서는 행렬의 연산을 다뤄보겠습니다!
다음에 봐요~ 😆
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/5
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글
※이 글을 읽기 전에 알아야 할 기호
gcd : '최대공약수'의 기호입니다.
표기 예시를 들어보자면,
gcd(x,y)는 x와 y의 최대공약수
gcd(l,m,n)은 l,m,n의 최대공약수
p.s.최소공배수는 lcm이고 쓰는 법은 같아요~
유클리드 호제법이란?
뭔가 이름만 들어도 여러모로 머리가 아픈 유클리드 호제법!
유클리드 호제법은 두 다항식 또는 자연수 사이의 최대공약수를 구할 때 자주 등장하는 유용한 녀석이에요!
(물론 수학 교육 과정에는 없습니다 쿨럭)
정수론 공부나 KMO 준비를 하시는 분들은 다들 한 번씩 접해보셨을 편리한 도구인데요!
일단 증명은 아래로 미루고 결과를 먼저 보도록 합시다앗!
"a>b인 두 양의 정수 a,b에 대하여,
a=qb+r(나머지 r은 0 이상 b 미만,q는 몫)
이라 하면,
gcd(a,b)=gcd(b,r)
(a,b의 최대공약수=b,r의 최대공약수)이다."
'흐음 저게 어디가 유용하다는 거지..?'
싶으신 분들을 위해 예시를 몇가지 들어볼까요?
'1071과 1029 사이의 최대공약수는 21이다.'
이 상황에서 간단한 계산식 두 세 번이면
이를 계산할 수 있게 해주는 것이 바로
유클리드 호제법!!
정말 탐나지 않나요옷!
바로 증명 들어갑니다앗ㄱㄱ
유클리드 호제법의 증명
일단 a>b인 두 양의 정수 a,b를 잡아줍시다!
여기서 구하고 싶은건 바로 최대공약수니까
얘도 G로 잡아주도록 할게요!
따라서 이렇게 되면 a,b는 당연히
G의 배수가 되겠지요?
그러면 요렇게 되겠네요!
여기서 대문자인 A와 B는 몫입니다!
최대공약수 G로 나누니까 나머지는 없구요!
여기서 중요한 게 뭐냐면,
'A와 B는 서로소'
라는 사실이에요.
만약 A와 B가 서로소가 아니라면,
G는 더 이상 최대공약수가 아니니까요!
사실 당연한 말!
(최대공약수는 모든 공통 약수를 가져가야 하기 때문에, 남은 것에 공통 약수가 있을리는 없죠)
자아 이 정도 해두면 좋습니다!
다음 과정으로 넘어가볼까요?
a>b이기 때문에,
b로 a를 나눌 수 있으니까
계산식을 써주면 몫 q와 나머지 r이 나오네요!
이제 여기에 a=AG,b=BG를 대입해도
식이 성립하겠군요!
그러면 바로 대입 ㄱㄱ
이건 뭐 그냥 대입만 했으니까 별 거 없네요.
이제 식에 변형을 좀 줘봅시다.
자 이거는 아주 쉽게 이해하실 거에요!
1.qBG 이항
2.G로 묶기
가 되었네요!
근데 제가 아까 b=BG라고 했죠?
이렇게 되면 아래와 같아지겠군요!
아까 b의 정의에 따르면,
둘 사이에는 G라는 공통의 약수가 생기게 되는 것을 어렵지 않게 알 수 있군요!
자아 근데 유클리드 호제법을 증명하기 위해서는
b와 r에 있는 G 저 친구가
'최대공약수'가 되어야 하겠네요!
그래야지만 a,b의 최대공약수 G가
b,r의 최대공약수와 같아지니까요!
결국 그게 유클리드 호제법이죠?
자 그렇게 되면,
이 두 녀석이 서로소임을 증명하기만 하면
우리가 원하는 유클리드 호제법이 증명되는 겁니다!
근데 잘 생각해보시면,
1. 서로소가 아니다.
2. 서로소이다.
두가지 중 하나의 결과가 맞는 것 아니겠어요?
그러니까 우리는 2가 맞는 사실을 보이려면,
1) 2가 맞다.
2)1이 틀렸다.
둘 중 하나만 증명해도 결국 증명된 거 아니겠어요!
1과 2중 하나만 정답이라는 것인데,
1이 틀렸다면 당연히 정답은 2겠죠!
따라서 우리는 1번,
즉 '서로소가 아니다' 라는 사실이 틀렸음을 보이면 된다는 것이지요.
그렇다면 '서로소가 아니다' 라는 사실이 틀렸음을 알기 위해서는
서로소가 아니게 가정을 했을 때
'모순'이 발생한다면,
즉 논리적으로 안 들어맞는 개소리가 생긴다면,
곧 그 가정이 틀린 가정임을 알려주는 거 아니겠어요?
자 이제 그럼 그 놈의 모순이란 걸 보여보도록 합시다.
(참고로 이런 식의 논리 흐름을 통해 명제를 증명하는 것을 '귀류법' 이라고 합니다.
자주 쓰이는 중요한 개념이에요!)
두 수가 서로소가 아니라고 했으니,
1보다 큰 최대공약수인 t가 존재한다는 것이겠지요!
(물론 m,n은 당연히 몫입니다~)
그럼 이제 B를 대입해 보시면,
당연히 이렇게 나오겠네요!
이 식을 조금 변형시켜본다면,
자아 근데 여기서 모순이 발생합니다앗!!
우리가 A와 B는 서로소라고 했던 것 기억나시나요?
까먹으신 거 아니겠지!!
위에 진한 글씨로 강조했는데!
근데 결과는 서로소가 아니라고 나오네?
엥???
요것이 바로 모순입니다.
결과가 개소리니까 가정도 개소리가 되는 것이고,
따라서 우리는 유클리드 호제법을 증명해냈습니다! 짝짝
이제 증명도 했겠다, 위에 든 예시를 직접 계산해보며 사용법 감을 익혀보죠!
유클리드 호제법 사용 예시
아까 제가 1071과 1029 사이의 최대공약수가
21이라고 했던 사실 기억나시나요?
요것을 한 번 직접 계산해보자구요!
a=qb+r이라고 했었죠? 그럼 똑같이
1071=1×1029+42
여기서 a,b의 최대공약수,
즉 1071과 1029의 최대공약수는,
b,r의 최대공약수인,
1029와 42의 최대공약수와 동일합니다!
따라서 1029와 42 사이에 또 같은 방법을 취해주더라도,
새로 만들어지는 b,r의 최대공약수가 결국
gcd(a,b)와 동일해지겠죠!
따라서 또 한 번 적용해주면,
1029=24×42+21
그러면 gcd(b,r)=gcd(42,21)이 결국 답이 되네요!
(헷갈리실 까봐 적는 것인데 24는 그냥 몫이에요!
하던대로 나눠서 계산해보시면 됩니다.
유클리드 호제법에서 딱히 중요한 부분 아니에욧)
그러면 42와 21의 최대공약수는
너무 쉽게도 21입니다!
계산 끝!
"a>b인 두 양의 정수 a,b에 대하여,
a=qb+r(나머지 r은 0 이상 b 미만,q는 몫)
이라 하면,
gcd(a,b)=gcd(b,r)
(a,b의 최대공약수=b,r의 최대공약수)이다."
어떠신가요? 이제 이 말이 좀 눈에 들어오시나요?
(참고로 나머지 r의 조건은 당연한 거에요!
나머지가 나눈 수보다 크면 덜 나눠진 거잖아요!)
지금까지 장문 봐가면서 이해하려 노력하신
독자 분들께 박수를 보냅니다.
오늘도 수학 지식이 더 풍부해지셨습니다앗!
저는 이만! 열공~
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글
고등 미적분 파트에서 접하게 되는
중요한 수학적인 상수!
지수 함수 혹은 로그 함수의 미적분 과정에서 대표적으로 자주 거론되는,
여러모로 핵심적인 부분을 맡고 있는 자연 상수를 한 번 파헤쳐봅시닷!ㄱㄱ
먼저 정의를 툭 던져드려보자면..
차차 설명드리겠습니다 (찡긋)
자연 상수의 계산
우선 자연 상수는 '복리' 의 계산에서 언급되어지기 시작했습니다.
복리는 일종의 이자 계산법입니다.
예를 들어보죠!
A가 은행에 예금을 넣고
1년 뒤 원금의 100%를 이자로 받기로 해봅시다!(헐 개쩐다)
1만원을 넣었다고 했을 때,
1년 뒤에는 총 금액이 다음과 같아집니다.
원금 1만원에다가,
원금×이자율 즉 이자가 1만원×100%=1만원!
이제 원금에 이자까지 더하면 1년 뒤의 총 금액을 계산할 수 있겠네요!
자,여기서 우리 한 번 은행에 이벤트를 진행해봅시닷 (..?)
12개월 뒤에 100%가 딱 생기는 거에서
6개월 뒤에 50%,6개월 뒤에 50%로 두 번에 걸쳐서 받을 수 있게 규칙을 바꿨습니다!
이 규칙을 적용했을 때의 계산식도 어렵지 않게 아래처럼 구해집니다.
원금 1과 이자 1×50%=0.5의 합인
1.5로 계산될 수 있는 것 이해되시지요?
이 1.5가 또 다시 50% 증가해주면 되는 것이기 때문에,
1+50%=총 150%를 다시 곱해 다음과 같은 식이 만들어지게 됩니다.
좀 다르게 표현해본다면 아래와 같겠네요.
자 머리가 좋은 여러분들은 3번째로 뭘 해야할지 감이 오실 거에요.
1번째에는 100%를 한 번에 1만큼,
2번째에는 100%를 두 번에 1/2만큼씩,
즉 3번째에는 100%를 세 번에 1/3만큼씩
이겠지요?
그렇게 되면 당연스레 3번째에는 아래와 같은 계산식을 얻을 수 있어요.
(저기 물결이 넘실거리는 등호는
양변의 값이 비슷하다는 뜻의 기호에요.)
4번째 한 번에 그냥 가봅니다앗!
제가 좀 계산해드릴게욧
5번째,
어엇..뭐지? 점점 어느 숫자에 수렴하고 있는 것으로 보이죠?
이제 무한 번만큼 죤내 많이 곱하자!
n번째로 바꿔버린 다음 n을 무한으로 보낸다고 해주면,
바로 우리가 원하고 있는 자연 상수 e가 계산되는 것입니다앗!
이제 자연 상수를 계산해보았으니,
자연 상수가 가지는 의의에 대해서 말씀 드려볼게요~
p.s.시험에 의의 안 나온다고 갖다버리는 학생들 있는데 수학이라는 학문에서 상당히 중요한 부분이 바로 이런 부분입니다. 그냥 계산만 아는게 잘 아는 것이 절대 아닙니다.
자연 상수의 의의
일단 결론부터 말씀드리자면,
"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"
'이게 뭔 개소리일까 ㅎㅎ죤내 어이가 없다..'
싶지요? 아까부터 결론 먼저 던져서 멘붕드린 점 사과드립미다 주르륵..
일단 하나 하나 뜯어보자면,
"100%의 성장률을 가지고"
우리가 처음에 복리 얘기를 할 때에,
100%만큼 증가하는 걸로 정해두었지요?
자연 상수가 성장률 100%를 기준으로
만들어진 상수이기 때문에 저런 말을 한 겁니다!
"1회 연속 성장할 때"
100%를 연속 성장한다는 것이 무슨 의미냐면,
한 번 예를 들어 100원을 생각해봅시다.
1. 100%를 1번에,즉 100%를 계산하면 200원입니다.
2. 2번에 계산하면, 즉 50%,50%를 계산하면 225원입니다.
이 두 친구는 모두 불연속 성장을 한 겁니다.
딱 딱 끊겨서 증가하는 포인트가 보이기 때문에, 이를 불연속으로 성장한다고 하는 것이지요!
그러면 좀 더 부드럽게 하려면,
나누는 수, 즉 계산 횟수를 늘려주면 점점 더 부드럽게 계산되겠지요?
(횟수가 늘어날수록 각 포인트마다 증가하는 정도가 줄어들어서 부드러워지는 거지요!)
이해를 돕기 위해 그림을 좀 넣어볼까요?
즉 계산 횟수가 늘어날수록,
결론적으로 횟수 n이 무한대에 가까워질수록, 부드러워지게 되는겁니다!
따라서 n이 무한대로 갈 적의 성장을
'연속 성장'
이라고 말해줄 수 있는 거에요.
따라서,
'1회 수행된 연속 성장의 비율'
로 볼 수 있겠지요!
(2회 수행되면 당연히 자연 상수 e를 두 번 곱한 e의 제곱(e^2)이 성장 비율이 되겠네요~)
"최대로 성장할 수 있는 비율"
당연스레 1회 연속 성장의 비율을 초과해서
1회 연속 성장이 될 수 없으니까요!
당연한 말이라고 보시면 됩니다!
(우리가 지수 혹은 로그 함수의 미적분을 공부할 때 수도 없이 튀어나오는 자연 상수도, 이런 자연스러운 증가율의 의의를 가지다 보니 계속해서 엮여나오는 것으로 볼 수 있겠어요!)
이제 이해되셨나요?
"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때,
최대로 성장할 수 있는 비율"
지금까지 어려웠던 내용 읽어주신 여러분께 수고하셨다고 전해드리고 싶습니다~
작성한 내용 중 이해가 힘든 부분은 혼자 끙끙대지 마시고 댓글로 물어보셔도 돼요!
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