썽

​

이번에는 요 녀석을 증명해보도록 하지요~

​

​

​

​

​

-역함수 미분법 유도

​

우선 g(x)을 f의 역함수라고 생각하시면,

다음과 같게 나오겠지요?

​

​

정의역 y를 대입하시면 g(x)는

정의에 따라 x가 나올테니,

​

​

결국 f(x)=y가 나오니까

결과는 y에 대한 항등함수~

​

​

​

​

(이거 그냥 역함수의 성질같은 거에욧

혹시 모를까봐 설명드렸슴다)

​

​

​

​

​

이 다음에 이 녀석을 미분해볼까요?

이런 식으로 나오겠네요!

​

합성함수의 미분법을 그대로 사용했습니다~

​

​

(합성함수의 미분법을 모르신다면 아래로)

​

​

​

​

위의 녀석을 조금 변형했습니다!

​

​

​

​

​

이제 여기서 앞서 말씀드렸듯이,

​

g(x)를 f의 역함수라고 말씀드렸죠?

​

그래서 위와 같이 바꿨습니닷

​

​

​

​

어렵지 않쥬?

​

질문,오류 지적 언제나 환영해요👍

​

​

※이 내용을 보기 위해서는 아래의 내용이

선행되어야 합니다

https://sseong40.tistory.com/9

​

​

​

​

이번에는 요 녀석들을 유도해볼까 합니다!

​

​

​

​

​

​

​

1.제곱수의 시그마 공식

우선 요 녀석을 증명합시다~

​

​

​

​

​

좌변은 아래와 같이 나타낼 수 있겠지요?

​

(요거 시그마 연산의 성질입니다!

저렇게 분배해주거나, k랑 관련 없는 녀석들은

밖으로 빼고 하는 게 가능~)

​

​

​

​

​

​

여기서, 우리가 앞서 배운

자연수 총 합의 공식을 대입해줍시다!

​

​

또한, 1을 n번 더한 것은 n이라고 말씀드렸죠?

이 녀석 역시 대입~

​

​

​

​

​

​

그럼 요렇게 간단히 표현됩니다!

​

이 녀석을 쫌 정리해주면 n^2이 나오는 거

금방 아실거에요~

​

​

​

​

​

그러면 결국 n^2이 좌변의 결과가 된다는

것이로군요!

​

​

이렇게 첫 번째 증명은 끝~

어렵지 않죠?

​

​

​

​

​

​

​

​

2. k(k+1) 시그마 공식

이 친구도 한 번 유도해봅시닷

​

​

​

​

​

얘도 그냥 시그마의 연산을 해준거 뿐이지요!

​

그냥 단순하게 분리만 좀 해줬습니다~

​

​

​

​

​

​

이제 여기에서,

​

우리가 앞서 유도한 자연수 제곱의 총 합 공식과

자연수의 총 합 공식을 대입해주면,

​

다음과 같겠네요~

​

​

​

​

​

​

여기서 이 친구를 쫌 정리해주면 요렇게

나오게 되네요!

​

이렇게 해서 두 번째까지 증명 완료~

​

​

​

​

​

​

​

​

​

3.k(k+1)(k+2)시그마 공식

마지막으로 얘를 증명해볼 차례네요!

​

이번에도 역시, 앞서 증명 방법과

상당히 유사하게 흘러가요~

​

​

​

​

​

우선 안의 항들을 모두 전개!

​

​

​

​

​

그 다음에는 우리가 앞서 해준 것처럼

항들을 각각 분리해주었네요~

​

​

​

​

​

그 다음에는 순서대로,

​

자연수 세제곱 합,자연수 제곱 합,자연수 합

공식을 대입해줍니닷

​

그러면 위와 같겠네요!

​

​

​

​

​

이 녀석을 쫌 계산해줘서

간단히 표현해보았습니다~

​

그러면 결과가 위와 같게 나오네요!

​

​

​

​

​

​

이렇게 마지막 공식까지 간단히 증명👍

​

오류나 궁금하신 부분 언제든지 말씀해주세욧

항상 열려있슴다😆

​

​

​

※이 내용을 이해하기 위해서는 고등 미적분을

보고 오셔야 합니다!

​

​

​

​

​

​

위의 살벌한 녀석은 바로 테일러 급수!

​

초월함수들을 다항함수로 바꿔서

계산을 용이하게 해주는,

​

수학에서 광범위하게 쓰이는 중요한 녀석이죠~

​

​

바로 유도에 들어가보도록 하겠습니닷

​

​

​

​

​

​

-테일러 급수의 유도

​

​

우선은 어떤 복잡한 함수 f(x)를

저런 형태의 다항함수로 분해하려고 합니다!

​

​

​

우선 조건을 좀 걸어줄게요~

​

-함수 f(x)는 x=a에서 무한 번 미분 가능하다.​

​

​

참고로 여기서, 일반적인 다항함수인

a+bx+cx^2 ...로 두지 않고 저렇게 둬도

괜찮을까 생각이 들 수도 있는데요!

​

​

​

​

저 다항식은 결론적으로는 모두 전개하면,

​

아래와 같은 일반적인 다항함수가 나오는 거

이해되시죠?

​

​

​

​

저런 형태로 유도한 뒤에 그냥 전개해버리면

되는 문제니까,

​

그냥 편의상 모양을 저렇게 잡아준거다~

​

라고 생각하시면 되겠습니다!

​

​

​

​

​

그러면 함수 f(x)에 a를 대입해볼까요?

​

그러면 결과는 위와 같이 나오게 되겠네요~​

​

​

​

여기서, 이 함수 f(x)를 미분해봅시다!

​

그러면 미분된 함수 f'(x)는 위와 같겠죠?​

​

​

​

​

계속해서 또 a를 대입!​

​

​

​

​

이번에는 미분한 함수를 또 미분해서,

2회 미분합니다!​

​

​

​

​

이번에는 대입하니 이렇게 나오네요!​

​

​

​

​

마찬가지로, 3회 미분에 a를 대입해주시면

위와 같은 답이 나오게 됩니다!​

​

​

​

​

지금까지 나온 결과값들을 쭈욱 나열해서

c들에 대하여 정리했습니다!

​

( ex)f'''(a)=3!×c_2 를 c_2에 대해 정리하면,

c_2=f'''(a)/3! )

​

이제 규칙이 확연히 보이시죠?

​

​

​

​

​

아까 제가 잡아둔 다항함수 식에 c들의 값을

모조리 대입해보았습니다!

​

​

​

​

대입해준 녀석들을

시그마를 이용해 묶어주었어요!

​

​

​

​

​

이렇게 테일러 급수를 유도해냈습니다~

​

(앞서 말씀드렸지만,

f(x)가 x=a에서 무한 번 미분 가능해야합니다!

그래야 f의 1,2,3...∞차 미분이 존재..)

​

​

​

​

​

​

​

-맥클로린 급수

​

테일러 급수에서 a=0인 특별한 경우의 급수를,

맥클로린 급수라고 합니다!

​

식은 아래와 같겠네요~

​

맥클로린 급수

a=0을 대입해준 것 뿐!

​

어렵지 않죠?

​

​

(이 녀석도 당연히 x=0 무한 번 미분 가능해야..!)

​

​

​

​

​

​

​

예제1)다음 함수를 테일러 급수로 변환하라.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

답 :

1.

​

​

고등학교에서 배우는 대표적인 수열로는

등차수열과 등비수열이 있겠는데요!

​

​

이 두가지 수열들의 총합을 계산하는

공식을 한 번 유도해봅시다~

​

​

​

​

​

​

​

-1.등차수열의 합 공식 유도

​

​

우선 등차수열의 합 공식부터 유도해볼까요?

​

​

일단 제 1항부터 제 n항까지의 등차수열 합은

다음과 같이 나타나요!

​

제 1항부터 제 n항까지의 값을

순서대로 쭈욱 더했습니다~

​

​

​

​

​

​

그런데 여기서 합을 쪼금 달리 표현해볼게요!

​

​

a는 첫 항인 제 1항, 값은 a+(1-1)d=a

l은 마지막 항인 제 n항, 값은 a+(n-1)d

​

​

저기서 아래쪽 합은 마지막 항인 제 n항에서부터

​

공차 d씩 순서대로 빼가면서,

​

더하는 순서를 거꾸로 해주는 것 뿐이에요~

​

​

​

​

​

​

​

여기서 이 두 녀석을 더해보았습니다!

​

흥미롭게도 모두 a+l 이라는 값이..!

​

​

​

​

​

​

​

그런데 이 a+l이 총 n개 있는 것이므로,

​

(a+l)×n개 , 즉 n(a+l)로 나타내줄 수 있겠죠?

​

​

​

​

​

​

그럼 여기서 2를 나눠주면 총 합 S 유도 끝~

​

​

​

​

​

​

​

여기서 쪼금 더 가보자면,

마지막 항인 제 n항의 값은

a+(n-1)d라고 제가 말씀 드렸죠?

그 녀석을 대입해주면 저렇게 나와요~

​

둘 다 암기하고 계셔야 합니닷

​

​

​

​

​

​

​

​

​

-2.등비수열의 합 공식 유도

​

​

비슷한 흐름으로,

등비수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합은

다음과 같이 나타나요!

​

​

​

​

​

여기서, 총 합 S에 r을 곱해주시면

아래와 같은 결과가 나오는 것 쉽게 이해되시죠?

​

​

​

​

​

​

​

위의 녀석에서 아래를 빼보았습니다~

​

위와 같이 소거되니까

남는 녀석은 아래와 같게 나오겠네요!

​

( 좌변은 S-rS니까 S로 묶어주시면

(1-r)S 입니닷 )

​

​

​

​

​

​

​

​

여기서 또 S에 대해 식을 바꿔주시면

다음과 같은 결과가 도출됩니다!

​

​

그런데 1-r을 나누려면,

r이 1이 아니라는 조건이 있어야겠죠?

​

​

​

그렇다면 r=1일 때는 어떨까요?

​

r=1이라면 이렇게 아주 간단히 나오네요!

​

​

​

​

​

예제1)다음 수열의 제 1항부터 제 15항까지의

총 합은 얼마인가?

​

​

예제2)다음 수열의 제 3항부터 6항까지의

총 합은 얼마인가?

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

답 :

1. 공식을 그대로 이용한다.

​

​

​

2. 제 6항까지의 합 - 제 2항까지의 합.

이 세가지 계산에 대한 증명을 해보도록

하겠습니다!

​

​

일단 저 세가지가 어떤 것인지부터 알아야죠~

​

​

​

​

​

​

왼쪽부터 순서대로,

요런 녀석들을 계산하게 해주는

식들이랍니다!

​

​

​

​

​

​

우선 결과부터 쭈욱 보여드릴게요~

​

자 그럼 순서대로 유도해보도록 할게요!

​

​

​

​

​

​

-1. 자연수 n의 총 합

​

우선 n까지의 자연수의 총 합 S는 위와 같이

나타낼 수 있겠죠?

​

​

​

​

​

그런데, 아래처럼 순서를 바꿔도 당연히

값은 S 그대로겠죠~

​

​

​

​

​

여기서 이 두 녀석을 더해보면,

​

​

이렇게 신기하게도 전부 n+1이 나오네요!

​

​

​

​

​

​

근데 이 녀석들이 n개 있는 게 되는 것이니,

​

​

요렇게 간단하게 나타내줄 수 있겠죠?

​

​

​

​

​

여기서 양변에 2를 나눠주시면

​

​

다음과 같이 나오네요!

​

​

​

​

​

​

그런데 저 S가 앞서 말씀드린대로

자연수 n까지의 총합이 되는 것이니,

요렇게 되는 것이겠네요!

​

이렇게 해서 첫번째 공식의 증명 완료~

​

​

​

​

​

​

2.자연수 n의 제곱의 총 합​

​

​

바로 다음 녀석으로 넘어가보도록 하죠!

​

​

이번에는 위의 식을 써먹어서

증명을 하려고 합니다!

​

​

(저거 이해 안되시진 않겠죠..?

그냥 좌변을 전개해서 우변이 나오는 것!)

​

​

​

​

​

​

일단 1부터 n까지 각각 대입해서,

전체 식의 총 합을 표현해봅시다!

​

​

​

​

​

​

​

이제 이 녀석들을 더하는 작업을 하면 되는데,

좌변이 저런 식으로 깔끔히 소거되죠?

​

계속 이어가봅시다~

​

​

​

​

​

그러면 당연히 이렇게 나오겠네요!

​

​

​

​

​

음..우변이 조금 헷갈릴 수 있는데,

​

​

첫번째 항 :

두번째 항 :

세번째 항 :

​

위와 같은 녀석들입니다~

​

이렇게 보시면 이해가 금방 되실거에요!

​

​

​

​

​

좌변은 그냥 계산하시면 되고,

​

​

우변의 세번째 항은 1을 n번 더했기 때문에

1×n 하셔서 n이 나오게 됩니다!

​

​

​

​

​

​

​

그런데 아까 말씀드렸다시피,

요렇다고 유도해드렸죠?

​

이 녀석을 저기 대입해주시면,

​

​

​

​

요렇게 되네요~

​

이제 저 시그마가 붙은 식에 대하여

정리해보도록 하겠습니다!

​

(단순 계산이에욧)

​

​

​

​

자 이렇게 유도를 해냈습니다!

​

​

​

​

​

​

​

​

​

3.자연수 n의 세제곱의 총 합

​

이제 마지막 공식이네요!

​

​

이번엔 위의 녀석을 이용~

​

아까랑 정말 비슷한 흐름이에요!

​

​

​

​

​

​

​

​

여기서 또 1부터 n까지 대입하시면,

요렇겠죠?

​

이 친구들을 모조리 더해봅시다!

​

​

​

​

​

​

​

​

그러면 좌변이 요렇게 소거되면서

간단히 표현됩니다!

​

이제 모두 더한 식을 표현해주시면,

​

​

​

​

​

​

​

위와 같겠네요!

​

우변은 이제 간단히 이해되시죠?

​

(안되면.. ㅂㄷㅂㄷ)

​

​

​

​

​

좌변을 쫌 정리했어요~

​

이제 여기서 아까 구한 두 녀석들을

그대로 대입해봅시다!

​

​

​

​

​

그럼 요렇게 나오겠네요!

​

이제 얘를 시그마 식에 대해 정리해주면,

​

​

​

​

​

​

이번에도 간단히 유도 끝!

​

​

​

​

​

오류 있거나 궁금한 점 있으신 분들

댓글로 언제든지 환영이에요~

​

그럼 빠이! 😘

(이전 강의)

https://sseong40.tistory.com/7

※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다.

​

​

​

​

​

앞선 글에서 덧셈의 항등원과 역원에 대하여

다루어보았습니다!

​

​

​

이번에는 곱셈에 대해서도 다루어봐야겠죠?

​

바로 시작해보도록 합시다!

​

​

​

​

​

​

​

-곱셈의 항등원(단위행렬)

​

​

​

단위행렬이라는 녀석은 아주 간단합니다!

​

어떤 행렬 A에 이 단위행렬 E를 곱해서 행렬 A가 나오도록 해주는 행렬을 말하지요~

​

​

​

단위행렬은 다음과 같은 녀석들입니다!

​

각각 1차,2차,3차 단위행렬이라고 불러요~

​

​

행이 1개인 녀석은 1차,

2개인 녀석은 2차,3개는 3차에

곱해주시는 방식이면 되겠습니다!

​

​

​

​

​

​

​

예시를 하나 들어볼까요?

​

다음과 같은 행렬 A의 단위행렬이 뭘까요?

행이 2개니까 2차 단위행렬에 해당하네요~

​

​

​

​

​

​

그러면 정말 항등원이 맞는지 직접 곱해보죠!

오호, 정말 그렇게 나오네요!

​

( 1이 살려줄 성분 한 가지만 살리고,

남은 자리의 0들이 나머지 성분들을 없애주는

모습이 보이신가요? )

​

​

​

​

​

​

​

이렇게 해서 단위행렬에 대해 알아보았으니,

​

다음으로 곱셈의 역원, 역행렬을 알아보죠!

​

​

​

​

​

​

​

​

-곱셈의 역원(역행렬)

​

곱셈에도 당연히 역원이 존재합니다!

​

​

​

행렬 A의 역행렬은

으로 표기해줍니다~

​

​

​

​

​

​

역원의 정의에 따라 행렬 A에 역행렬을 곱하면,

당연히 항등원인 단위행렬이 나와야겠지요?

​

​

그렇다면 이 사실을 이용해서

역행렬을 공식으로 유도해보려고 했지만..!

​

​

글이 너무 어렵고 길어질 것 같아서

2×2행렬의 경우만 써드리도록 하겠습니닷..ㅠㅠ

​

(det, adj 같은 녀석들이 나오는지라..)

​

​

​

​

​

​

​

-2×2 행렬의 역행렬 공식 유도​

​

우선 행렬 A과 그 역행렬 X를 잡아줍시다~

요렇게 말이지요!

​

​

​

​

여기서 이 둘을 곱하게 되면,

행렬×역행렬이니까 당연히 단위행렬이 나오겠네요~

​

그렇게 식을 세워서 계산을 해봅시닷

​

​

​

​

​

세워서 계산하니까 요렇게 나오는군요!

​

​

​

​

​

그런데 저 녀석이 성립하려면,

​

각 성분이 같아야 하는거 아니겠어요?

따라서 위와 같은 식이 성립해야 하네요!

​

​

​

​

​

이 네가지 식을 이용해서,

​

역행렬의 성분인 w,x,y,z를 a,b,c,d에 관한

식으로 나타낼 수 있어요!

​

​

​

​

​

w를 그렇게 구해볼까요?

​

그러면 다음과 같은 결과가 나와요!

나머지 x,y,z 도 같은 방법으로 풀 수 있어요!

​

​

​

​

​

​

그래서 이렇게 구한 w,x,y,z를 모두 대입하면,

​

이렇게 나오게 되네요!

​

이렇게 해서 2×2 행렬의 역행렬 공식을

유도해내었습니다~

​

​

​

​

​

그런데 저기서 분모 ad-bc=0이면,

​

즉, ad=bc이면 말이 안되는 거잖아요?

​

​

따라서 ad=bc인 2×2행렬은 역행렬을

가지지 못합니다 ㅠㅠ

​

(여기서 ad-bc를 판별식,

ad≠bc라서 역행렬을 가지는 녀석들을

가역행렬 이라고 부릅니닷!)

​

​

​

​

​

​

​

​

​

-역행렬의 성질

​

​

앞서 배운 역행렬은 다양한 성질을

가지고 있는데요!

​

하나씩 알아보도록 하죠~

​

​

​

​

일단 기본적으로 위의 3가지는

알아두시는 게 좋을 것 같아요!

​

​

1 :

이건 그냥 역행렬의 정의죠? ㅋㅋ

​

​

2 :

뒤집은 놈을 또 뒤집으면 당연히 원래대로~

​

​

3 :

행렬의 곱셈은 교환법칙이

성립하지 않기 때문에 이런 형태에요!

​

우변에 행렬 AB를 곱해보시면

금방 알 수 있겠네요~

​

위처럼 곱해보시면 둘 다 성립!

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

앞서 언급한 것에도 나오듯

아주 중요한 사실은,

​

교환법칙과 결합법칙이

둘 다 성립하는 행렬의 덧셈과는 달리,

​

​

​

​

행렬의 곱셈은 결합법칙은 성립하지만

교환법칙이 성립하지 않아요!​

​

(AB≠BA라는 소리,

이는 반례를 찾아 쉽게 증명 가능합니다!)

​

​

대신 단위행렬 E와 행렬 A의 곱은

교환법칙이 성립합니다~

​

(이 역시 계산으로 쉽게 알 수 있겠죠!)

​

​

​

​

​

​

예제1) 다음을 증명하라.

​

예제2)다음 행렬 A의 역행렬을 구하라.

​

예제3)다음 행렬의 역행렬이 존재하는가?

​

​

​

​

답 :

1.양변을 각각 행렬의 곱셈을 취하면

쉽게 증명 가능하다.

​

2.

3. O , X

(이전 강의)

https://sseong40.tistory.com/6

※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다.

​

​

​

​

​

​

지금까지 행렬의 덧셈에 대하여

다루어 본 것들 기억나시나요?

​

​

이제 몇가지 개념을 좀 더 쌓아봅시닷

​

​

​

​

​

-덧셈의 항등원(영행렬)

​

영행렬이라는 친구는,

행렬의 덧셈에서 항등원인 친구입니다!

​

​

어떤 행렬 A에 영행렬 O를 더해도,

그 값은 그대로 행렬 A가 되는 그런 행렬이지요~

​

​

​

​

그렇다면 영행렬의 모든 성분은

반드시 0이 되어야 하겠네요!

​

​

​

만약 위와 같은 행렬 A가 있다면,

​

행렬 A의 영행렬은 아래와 같겠지요~

​

​

​

그러니까 정리해드리자면,

​

영행렬 : 모든 성분이 0인 행렬

이라고 볼 수 있겠습니다~

​

자 어렵지 않죠?

​

​

​

​

​

​

​

​

​

-덧셈의 역원​

​

그럼 두번째로 덧셈의 역원을 살펴볼까요?

​

이 역시 아주 간단합니다!

​

​

​

​

행렬 A가 있다면,

​

이 행렬 A의 덧셈의 역원은 -1×A= -A 입니다!

​

​

​

​

​

한가지 예를 들어볼까요?

​

​

행렬 A가 다음과 같다면,역원은 아래와 같습니닷

​

​

​

​

​

​

​

​

여기에서 추가적으로 알아야 할 것은,

​

'행렬의 덧셈은 교환법칙,결합법칙이 성립한다'​

​

는 것인데요!

​

​

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​

각각의 성분들을 더해주는 것 뿐이기 때문에,

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상수의 연산에 관한 성질을

그대로 띄고 있어서 그렇습니다!

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아마 직감하고 계셨을거에요 ㅋㅋ

(다음 강의)

https://sseong40.tistory.com/8

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