썽

​

이번에는 요 녀석을 증명해보도록 하지요~

​

​

​

​

​

-역함수 미분법 유도

​

우선 g(x)을 f의 역함수라고 생각하시면,

다음과 같게 나오겠지요?

​

​

정의역 y를 대입하시면 g(x)는

정의에 따라 x가 나올테니,

​

​

결국 f(x)=y가 나오니까

결과는 y에 대한 항등함수~

​

​

​

​

(이거 그냥 역함수의 성질같은 거에욧

혹시 모를까봐 설명드렸슴다)

​

​

​

​

​

이 다음에 이 녀석을 미분해볼까요?

이런 식으로 나오겠네요!

​

합성함수의 미분법을 그대로 사용했습니다~

​

​

(합성함수의 미분법을 모르신다면 아래로)

​

​

​

​

위의 녀석을 조금 변형했습니다!

​

​

​

​

​

이제 여기서 앞서 말씀드렸듯이,

​

g(x)를 f의 역함수라고 말씀드렸죠?

​

그래서 위와 같이 바꿨습니닷

​

​

​

​

어렵지 않쥬?

​

질문,오류 지적 언제나 환영해요👍

​

​

​

​

회전운동에서 질량의 역할을 맡고 있는,

회전 관성이라는 녀석을 유도해볼까 합니다!

​

(옛날엔 관성 모멘트로 불렸습니닷)

​

​

​

​

​

​

-회전 관성 유도

일단 위의 식은 그냥 호도법의 정의입니다~

​

이 친구를 쫌 이용해봅시닷

​

​

​

​

그런데 여기서 각각 변위와 각도는,

​

다음과 같이 바꿔줄 수 있는 것 이해되시죠?

​

​

(속도에 몇 초만큼 지났는지 곱하시면,

얼마나 갔는지가 나오겠지요~)

​

​

​

​

​

그러면 정리해서 다음과 같은 식이 유도되네요!

​

​

​

​

​

그 다음, 각각의 운동 에너지 식을 살핍시닷

​

병진 운동 에너지,회전 운동 에너지의

계산식이네요~

​

얘들은 다 아시겠쥬?

​

​

​

​

​

​

​

출처.정보통신기술용어해설

이 쯤에서 이런 그림을 한 번 살펴볼까요?

​

​

저 점에서 운동하는 m이라는 질량을 가진

점이 있다고 봅시다~

​

​

​

​

그러면 그 점을 기준으로의 운동 에너지를

살펴본다면,

당연히 요렇게 나오겠지요?

​

​

​

​

​

​

그런데, 이 친구를 원운동의 관점으로 바라보면,

이렇게도 나타내줄 수 있겠지요!

​

​

여기서 이 둘은 식의 형태가 다를 뿐,

둘 다 질점에서의 에너지를 나타내는 겁니다~

​

​

관점을 달리 봐서 식의 형태가 쪼금

달라진 것 뿐!

​

​

​

​

​

(참고로 여기서 회전운동의 속도 역할은 이미

각속도로 하여 계산식까지 모두 정의했었고,

​

따라서 회전운동의 질량 역할이 될 I는 아직

이름만 붙였지 계산식이 유도가 안 된 친구!

​

​

그래서 그 계산식을 찾는 작업중인것)

​

​

​

​

​

​

​

따라서,

위와 같이 두 녀석을 같다고 둘 수 있습니닷

​

​

​

​

​

​

얘를 I에 대하여 정리해주시면,

위와 같은 결과가 나옵니다!

​

​

​

​

​

​

근데 저희가 아까 유도해 본 식 기억나셔요?

바로 위의 이 식!

​

얘를 한 번 대입해볼까요?

​

​

​

​

​

그러면 위와 같이 정리되네요~

​

​

​

​

​

따라서,

이렇게 금방 유도해줄 수 있었습니닷

​

​

​

​

​

※이 내용을 보기 위해서는 아래의 내용이

선행되어야 합니다

https://sseong40.tistory.com/9

​

​

​

​

이번에는 요 녀석들을 유도해볼까 합니다!

​

​

​

​

​

​

​

1.제곱수의 시그마 공식

우선 요 녀석을 증명합시다~

​

​

​

​

​

좌변은 아래와 같이 나타낼 수 있겠지요?

​

(요거 시그마 연산의 성질입니다!

저렇게 분배해주거나, k랑 관련 없는 녀석들은

밖으로 빼고 하는 게 가능~)

​

​

​

​

​

​

여기서, 우리가 앞서 배운

자연수 총 합의 공식을 대입해줍시다!

​

​

또한, 1을 n번 더한 것은 n이라고 말씀드렸죠?

이 녀석 역시 대입~

​

​

​

​

​

​

그럼 요렇게 간단히 표현됩니다!

​

이 녀석을 쫌 정리해주면 n^2이 나오는 거

금방 아실거에요~

​

​

​

​

​

그러면 결국 n^2이 좌변의 결과가 된다는

것이로군요!

​

​

이렇게 첫 번째 증명은 끝~

어렵지 않죠?

​

​

​

​

​

​

​

​

2. k(k+1) 시그마 공식

이 친구도 한 번 유도해봅시닷

​

​

​

​

​

얘도 그냥 시그마의 연산을 해준거 뿐이지요!

​

그냥 단순하게 분리만 좀 해줬습니다~

​

​

​

​

​

​

이제 여기에서,

​

우리가 앞서 유도한 자연수 제곱의 총 합 공식과

자연수의 총 합 공식을 대입해주면,

​

다음과 같겠네요~

​

​

​

​

​

​

여기서 이 친구를 쫌 정리해주면 요렇게

나오게 되네요!

​

이렇게 해서 두 번째까지 증명 완료~

​

​

​

​

​

​

​

​

​

3.k(k+1)(k+2)시그마 공식

마지막으로 얘를 증명해볼 차례네요!

​

이번에도 역시, 앞서 증명 방법과

상당히 유사하게 흘러가요~

​

​

​

​

​

우선 안의 항들을 모두 전개!

​

​

​

​

​

그 다음에는 우리가 앞서 해준 것처럼

항들을 각각 분리해주었네요~

​

​

​

​

​

그 다음에는 순서대로,

​

자연수 세제곱 합,자연수 제곱 합,자연수 합

공식을 대입해줍니닷

​

그러면 위와 같겠네요!

​

​

​

​

​

이 녀석을 쫌 계산해줘서

간단히 표현해보았습니다~

​

그러면 결과가 위와 같게 나오네요!

​

​

​

​

​

​

이렇게 마지막 공식까지 간단히 증명👍

​

오류나 궁금하신 부분 언제든지 말씀해주세욧

항상 열려있슴다😆

​

​

​

베르누이 방정식은 유체에 관한

에너지 방정식이에요~

​

이 녀석의 상위 호환으로는

나비에 스토크스 방정식이라는 친구가 있져

​

​

​

우선은 베르누이 방정식을 알아야하겠죠?

​

바로 시작해봅시닷

​

​

​

​

​

-베르누이 방정식 유도

우선 우리는 유체의 에너지 공식을 만들기 전,

강체의 에너지 공식을 알아줘야 합니다!

​

​

(참고로 오른쪽 const.는 상수라는 의미,

즉 일정하다는 뜻입니다~)

​

​

​

​

​

이 녀석을 풀이해보면,

​

외부에서 해주는 일+운동 에너지+위치 에너지

​

가 되겠네요!

​

​

​

​

​

그런데 여기서, 우리는 이 공식을

유체의 에너지에 대한 식으로 바꿔줘야 합니다!

​

그럼 여기에 유체의 부피 V를 나눠줄까요?

​

​

​

​

넵 그러면 위와 같겠네요!

​

양쪽에 똑같이 유체의 부피 V를 나눠줘도,

그 값은 항상 일정한 상수를 유지하겠죠?

​

​

​

​

​

이제 여기서 계산을 좀 해줄까요?

​

​

​

​

​

첫 항에서 s/V,즉 길이/부피는,

이렇게 됩니다!

​

부피는 면적×길이이므로,

이를 대입해서 약분시키면 돼요~

​

​

​

그리고 m/V,즉 질량/부피는

다들 아시는대로 그냥 밀도의 정의이니,

​

밀도로 바꿔줍시다!

​

​

​

​

​

​

그러면 위와 같게 나오게 되네요!

​

​

여기서 F/A,즉 힘/면적은 압력의 정의~

​

따라서 압력 P로 바꿔주시면,

​

​

​

​

​

넵 이와 같은 결과가 나오겠네요!

​

​

​

​

​

​

​

​

이렇게 해서 베르누이 방정식을

유도해보았는데요!

​

​

​

저기서 두 번째, 세 번째 항을 쪼금 살펴보죠~

​

​

​

​

​

​

​

저 두 항들에 부피 V를 나눠주신 것 기억나요?

​

부피 V를 나눠주었으니,

​

1 부피당,즉 단위 부피당 에너지가

바로 저 녀석들입니다!

​

​

​

​

​

따라서 두 번째,세 번째 항의 이름은

아래와 같게 나오겠네요~

​

​

1.단위 부피당 운동 에너지

​

2.단위 부피당 위치 에너지

​

​

​

​

​

​

그러면 저 식의 의미는,

​

외부에서 주는 압력+단위 부피당 운동E+단위 부피당 위치E

​

가 되겠습니다!

​

​

​

​

​

​

​

여기까집니닷 ☆

오류나 질문 언제든지 환영~😘

※이 내용을 이해하기 위해서는 아래의 내용이

선행되어야 합니다

(이상기체 상태 방정식 유도)

https://sseong40.tistory.com/11

​

​

​

​

​

반데르발스 상태 방정식은,

이상기체 상태방정식의 상위 호환입니다!

​

​

이상기체에는 5가지 가정이 있어욧

​

이 5가지 중 2가지 제약을 없앤 방정식이 바로

반데르발스 상태 방정식이며,

​

남은 3가지 제약을 가지는 기체를

반데르발스 기체라고 합니다~

​

좀 더 현실에 가깝게 거동하는 기체지요!

​

​

​

​

​

​

​

-반데르발스 상태방정식 유도

​

위에서 보신 대로 반데르발스 상태방정식은

이런 형태를 띄고 있습니다!

​

​

​

이상기체 상태방정식과 느낌이 유사하죠?

​

한 번 어떻게 변했는지 비교해봅시다!

​

​

​

​

​

아하! 압력은 좀 더 들어가고,

​

부피는 조금 더 줄었네요~

​

​

​

​

여기서 쫌 직관적인 느낌을 받아볼까요?

​

​

​

​

​

​

​

일단 첫번째로,

부피가 약간 줄어들게 되는 이유는

​

실제 기체는 입자가 차지하는 부피가 쪼금

있을테니, 고만큼의 부피를 빼주면

약간 줄어들게 되는 겁니다!

​

​

​

​

​

​

두번째로,

압력이 약간 증가하는 이유는

​

우리는 이상기체 상태 방정식에서는 입자의

인력 같은건 개나 줘버렸지요?

​

​

​

그러니까, 실제 기체는 자신의 순수 압력에서

그들간의 인력이 압력을 상쇄하므로,

​

측정되는 값은 원래 압력보다 조금 작습니다!

​

따라서 우리는 인력이 상쇄하는 만큼,

압력의 크기를 조금 더해줄 필요가 있는거죠~

​

​

​

이제 저 위의 식에서 압력이 증가되는 이유와

부피가 감소하는 이유를 이해하셨지요?

​

​

​

​

​

​

​

​

그러면 바로 넘어갈게요~

​

이 녀석은 이상기체 상태방정식의 변형이에요!

​

​

V_n이라는 녀석은 V/n입니다~

​

즉, 부피를 몰수로 나눴으니

단위 몰당 부피, 이를 몰 부피라고 하겠습니닷

​

​

​

​

​

​

다시 또 넘어가서,

​

이번에는 앞서 말씀드린

입자들 사이의 인력 F에 대해 생각해보죠!

​

​

​

이 인력 F는 1몰 부피당 질량 ,즉 밀도

(오른쪽 녀석인 로우_n)

에 비례해야 맞겠지요?

​

​

​

즉, 1몰 부피라는 기준치인 덩어리가 비좁게

모여있을수록 밀도는 작아지고,

​

그러면 가까울수록 반발력이 생기니까

인력은 당연히 줄어들겠지요!

​

​

(가까워질수록 인력의 증가폭보다,

반발력의 증가폭이 더 큽니다~)

​

​

​

따라서 밀도, 즉 1몰 부피당 질량과 인력은 비례!

​

그런데 질량은 입자 수인 몰수와 비례하므로,

1몰 부피당 질량과 몰수와 인력은 비례!

​

따라서 1몰 부피당 질량 뿐만 아니라,

1몰 부피당 몰수와 인력도 비례하겠지요?

​

​

​

​

​

​

당연히 부피가 클수록 인력은 떨어지니,

인력과 부피는 반비례!

​

​

​

​

여기서 정리를 좀 해주면 다음과 같네요~

​

​

​

​

​

이제 이 녀석을 적절한 비례상수를 붙여줘서

두 값이 같다고 해줘도 문제가 없겠군요!

​

​

​

​

​

넵 비례상수 a를 넣어줬습니다~

​

​

​

​

​

​

그럼 분모에 있는 압력에,

앞서 구한 인력을 더해주면 되겠네요!

​

​

​

​

​

​

여기서,

​

기체의 부피에는 순수 기체 부피만이 아닌

기체 입자 자체의 크기도 포함되어 있으니까,

​

입자의 수(몰수) n에 크기의 비례상수 b를

곱해서 더해주시면 되겠습니다!

​

​

​

​

​

그 다음 이 친구를 쫌 정리해주시면 완성!

​

​

​

​

​

​

​

원래는 엄밀한 증명이 있습니다만..

너무 어려운지라..ㅠㅜ

​

다음에 기회가 되면 쉽게 풀어서 올릴게욧

빠이~😆

※이 내용을 이해하기 위해서는 고등 미적분을

보고 오셔야 합니다!

​

​

​

​

​

​

위의 살벌한 녀석은 바로 테일러 급수!

​

초월함수들을 다항함수로 바꿔서

계산을 용이하게 해주는,

​

수학에서 광범위하게 쓰이는 중요한 녀석이죠~

​

​

바로 유도에 들어가보도록 하겠습니닷

​

​

​

​

​

​

-테일러 급수의 유도

​

​

우선은 어떤 복잡한 함수 f(x)를

저런 형태의 다항함수로 분해하려고 합니다!

​

​

​

우선 조건을 좀 걸어줄게요~

​

-함수 f(x)는 x=a에서 무한 번 미분 가능하다.​

​

​

참고로 여기서, 일반적인 다항함수인

a+bx+cx^2 ...로 두지 않고 저렇게 둬도

괜찮을까 생각이 들 수도 있는데요!

​

​

​

​

저 다항식은 결론적으로는 모두 전개하면,

​

아래와 같은 일반적인 다항함수가 나오는 거

이해되시죠?

​

​

​

​

저런 형태로 유도한 뒤에 그냥 전개해버리면

되는 문제니까,

​

그냥 편의상 모양을 저렇게 잡아준거다~

​

라고 생각하시면 되겠습니다!

​

​

​

​

​

그러면 함수 f(x)에 a를 대입해볼까요?

​

그러면 결과는 위와 같이 나오게 되겠네요~​

​

​

​

여기서, 이 함수 f(x)를 미분해봅시다!

​

그러면 미분된 함수 f'(x)는 위와 같겠죠?​

​

​

​

​

계속해서 또 a를 대입!​

​

​

​

​

이번에는 미분한 함수를 또 미분해서,

2회 미분합니다!​

​

​

​

​

이번에는 대입하니 이렇게 나오네요!​

​

​

​

​

마찬가지로, 3회 미분에 a를 대입해주시면

위와 같은 답이 나오게 됩니다!​

​

​

​

​

지금까지 나온 결과값들을 쭈욱 나열해서

c들에 대하여 정리했습니다!

​

( ex)f'''(a)=3!×c_2 를 c_2에 대해 정리하면,

c_2=f'''(a)/3! )

​

이제 규칙이 확연히 보이시죠?

​

​

​

​

​

아까 제가 잡아둔 다항함수 식에 c들의 값을

모조리 대입해보았습니다!

​

​

​

​

대입해준 녀석들을

시그마를 이용해 묶어주었어요!

​

​

​

​

​

이렇게 테일러 급수를 유도해냈습니다~

​

(앞서 말씀드렸지만,

f(x)가 x=a에서 무한 번 미분 가능해야합니다!

그래야 f의 1,2,3...∞차 미분이 존재..)

​

​

​

​

​

​

​

-맥클로린 급수

​

테일러 급수에서 a=0인 특별한 경우의 급수를,

맥클로린 급수라고 합니다!

​

식은 아래와 같겠네요~

​

맥클로린 급수

a=0을 대입해준 것 뿐!

​

어렵지 않죠?

​

​

(이 녀석도 당연히 x=0 무한 번 미분 가능해야..!)

​

​

​

​

​

​

​

예제1)다음 함수를 테일러 급수로 변환하라.

​

​

​

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​

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​

​

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​

답 :

1.

​

​