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물2에 나오는 중요한 방정식이져!
바로 유도ㄱㄱ!
-1.보일 법칙
기체의 몰수 n몰과 온도 T가 일정할 때,
PV는 항상 일정하다,
즉 압력과 부피는 반비례!
(k는 그냥 상수의 의미, 일정하다는
겁니다~)
-2.샤를 법칙
기체의 몰수 n몰과 그 기체의 압력 P가 일정할 때,
V/T는 일정하다,
즉 부피와 온도가 반비례한다!
-3.보일-샤를의 법칙
앞선 두 녀석은 중학교에서 배우셨죠?
이제 그 두 놈을 합쳐버립시돠
보일 법칙이 압력과 부피만을,
샤를 법칙이 온도와 부피만을 상정한
법칙인 것 다들 알고 계시지요?
그럼 요렇게 되는거 이해되시나요?
위의 두 녀석을 합치게 되면,
결국 압력,부피,온도에 대한 법칙을
만들어낼 수 있게 되는데,
압력이 부피에 반비례하며,
온도가 부피에 비례한다는 사실을
한꺼번에 표현한거에요!
당연히 여기서도 기체의 양,
즉 몰수 n이 일정하다면 저 값도 항상
일정한 상수가 나오겠지요~
-4.아보가드로 법칙
요것도 앞서 배우셨을 겁니다!
1몰 당 입자 수 : 아보가드로 수 N_A
몰 수 : n
이 두 녀석을 곱하면 당연히 전체 입자 수인
N이 나와주는 게 맞겠죠?
(1몰당 입자수에 몇 몰이 있는지를 곱하게 되면,
예를 들어 3몰을 곱하면 1몰이 가지는
입자수의 세 배가 되는 것이므로,
결국 3몰 전체의 입자 수가 나옵니다~)
그런데 아보가드로 법칙은 아래와 같이
나타낼 수도 있습니다~
앞서 배운 아보가드로 법칙의 식에 따르면
입자수 N이 몰수 n과 비례한다고 하네요!
(물론 비례상수는 아보가드로 상수 N_A)
그런데 우리는 기체를 보고 있지요?
기체 입자수는 부피와 비례할 거 아니에요!
따라서,
부피 V는 기체 입자 수 N에 비례하는데,
이 기체 입자 수 N이 또 몰수 n에 비례하는 게 되는거니까,
결국 위와 같이 부피 V와 몰수 n이
비례한다는 결과가 나오는 겁니닷
-5.이상기체 상태 방정식
이제 여기까지 왔습니다!
앞서 배운 보일-샤를의 법칙과,
아보가드로 법칙을 합쳐줘볼까요?
이제 압력 P,부피 V,몰수 n,입자 수 N을
모두 고려할 수 있는 식을 만들 수 있겠네요!
요렇게 말이지요~
보일-샤를 법칙에서 앞서 말했듯이,
몰수 n이 부피 V에 비례하므로 분모에 몰수 n을
넣어줘도 값은 항상 일정한 상수가 나오겠죠!
그런데 여기서 나오는 항상 일정한 상수 k를,
우리는 기체 상수 R 이라고 이름 붙입니닷
(그냥 상수 k를 R이라고 이름을 붙여준 것!)
이제 양변에 nT를 곱해서 간편히 나타내볼까요?
이제 우리가 원하는 상태방정식이
도출되었네요!
참고로 여기서 실험으로 계산되는
기체 상수 R의 값은,
단위 모르시진 않겠..ㅈ..
요렇게 나옵니닷!
단위 잘 보고 사용하셔야 해요~
atm이랑 L 쓰는데 갑자기 8.314 쓰시고
그러면 절대 안됩니다!
이상입니닷~
오류 지적이나 질문 언제든지 환영임다
빠이!😘
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고등학교에서 배우는 대표적인 수열로는
등차수열과 등비수열이 있겠는데요!
이 두가지 수열들의 총합을 계산하는
공식을 한 번 유도해봅시다~
-1.등차수열의 합 공식 유도
우선 등차수열의 합 공식부터 유도해볼까요?
일단 제 1항부터 제 n항까지의 등차수열 합은
다음과 같이 나타나요!
제 1항부터 제 n항까지의 값을
순서대로 쭈욱 더했습니다~
그런데 여기서 합을 쪼금 달리 표현해볼게요!
a는 첫 항인 제 1항, 값은 a+(1-1)d=a
l은 마지막 항인 제 n항, 값은 a+(n-1)d
저기서 아래쪽 합은 마지막 항인 제 n항에서부터
공차 d씩 순서대로 빼가면서,
더하는 순서를 거꾸로 해주는 것 뿐이에요~
여기서 이 두 녀석을 더해보았습니다!
흥미롭게도 모두 a+l 이라는 값이..!
그런데 이 a+l이 총 n개 있는 것이므로,
(a+l)×n개 , 즉 n(a+l)로 나타내줄 수 있겠죠?
그럼 여기서 2를 나눠주면 총 합 S 유도 끝~
여기서 쪼금 더 가보자면,
마지막 항인 제 n항의 값은
a+(n-1)d라고 제가 말씀 드렸죠?
그 녀석을 대입해주면 저렇게 나와요~
둘 다 암기하고 계셔야 합니닷
-2.등비수열의 합 공식 유도
비슷한 흐름으로,
등비수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합은
다음과 같이 나타나요!
여기서, 총 합 S에 r을 곱해주시면
아래와 같은 결과가 나오는 것 쉽게 이해되시죠?
위의 녀석에서 아래를 빼보았습니다~
위와 같이 소거되니까
남는 녀석은 아래와 같게 나오겠네요!
( 좌변은 S-rS니까 S로 묶어주시면
(1-r)S 입니닷 )
여기서 또 S에 대해 식을 바꿔주시면
다음과 같은 결과가 도출됩니다!
그런데 1-r을 나누려면,
r이 1이 아니라는 조건이 있어야겠죠?
그렇다면 r=1일 때는 어떨까요?
r=1이라면 이렇게 아주 간단히 나오네요!
예제1)다음 수열의 제 1항부터 제 15항까지의
총 합은 얼마인가?
예제2)다음 수열의 제 3항부터 6항까지의
총 합은 얼마인가?
답 :
1. 공식을 그대로 이용한다.
2. 제 6항까지의 합 - 제 2항까지의 합.
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이 세가지 계산에 대한 증명을 해보도록
하겠습니다!
일단 저 세가지가 어떤 것인지부터 알아야죠~
왼쪽부터 순서대로,
요런 녀석들을 계산하게 해주는
식들이랍니다!
우선 결과부터 쭈욱 보여드릴게요~
자 그럼 순서대로 유도해보도록 할게요!
-1. 자연수 n의 총 합
우선 n까지의 자연수의 총 합 S는 위와 같이
나타낼 수 있겠죠?
그런데, 아래처럼 순서를 바꿔도 당연히
값은 S 그대로겠죠~
여기서 이 두 녀석을 더해보면,
이렇게 신기하게도 전부 n+1이 나오네요!
근데 이 녀석들이 n개 있는 게 되는 것이니,
요렇게 간단하게 나타내줄 수 있겠죠?
여기서 양변에 2를 나눠주시면
다음과 같이 나오네요!
그런데 저 S가 앞서 말씀드린대로
자연수 n까지의 총합이 되는 것이니,
요렇게 되는 것이겠네요!
이렇게 해서 첫번째 공식의 증명 완료~
2.자연수 n의 제곱의 총 합
바로 다음 녀석으로 넘어가보도록 하죠!
이번에는 위의 식을 써먹어서
증명을 하려고 합니다!
(저거 이해 안되시진 않겠죠..?
그냥 좌변을 전개해서 우변이 나오는 것!)
일단 1부터 n까지 각각 대입해서,
전체 식의 총 합을 표현해봅시다!
이제 이 녀석들을 더하는 작업을 하면 되는데,
좌변이 저런 식으로 깔끔히 소거되죠?
계속 이어가봅시다~
그러면 당연히 이렇게 나오겠네요!
음..우변이 조금 헷갈릴 수 있는데,
첫번째 항 :
두번째 항 :
세번째 항 :
위와 같은 녀석들입니다~
이렇게 보시면 이해가 금방 되실거에요!
좌변은 그냥 계산하시면 되고,
우변의 세번째 항은 1을 n번 더했기 때문에
1×n 하셔서 n이 나오게 됩니다!
그런데 아까 말씀드렸다시피,
요렇다고 유도해드렸죠?
이 녀석을 저기 대입해주시면,
요렇게 되네요~
이제 저 시그마가 붙은 식에 대하여
정리해보도록 하겠습니다!
(단순 계산이에욧)
자 이렇게 유도를 해냈습니다!
3.자연수 n의 세제곱의 총 합
이제 마지막 공식이네요!
이번엔 위의 녀석을 이용~
아까랑 정말 비슷한 흐름이에요!
여기서 또 1부터 n까지 대입하시면,
요렇겠죠?
이 친구들을 모조리 더해봅시다!
그러면 좌변이 요렇게 소거되면서
간단히 표현됩니다!
이제 모두 더한 식을 표현해주시면,
위와 같겠네요!
우변은 이제 간단히 이해되시죠?
(안되면.. ㅂㄷㅂㄷ)
좌변을 쫌 정리했어요~
이제 여기서 아까 구한 두 녀석들을
그대로 대입해봅시다!
그럼 요렇게 나오겠네요!
이제 얘를 시그마 식에 대해 정리해주면,
이번에도 간단히 유도 끝!
오류 있거나 궁금한 점 있으신 분들
댓글로 언제든지 환영이에요~
그럼 빠이! 😘
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(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/7
※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다.
앞선 글에서 덧셈의 항등원과 역원에 대하여
다루어보았습니다!
이번에는 곱셈에 대해서도 다루어봐야겠죠?
바로 시작해보도록 합시다!
-곱셈의 항등원(단위행렬)
단위행렬이라는 녀석은 아주 간단합니다!
어떤 행렬 A에 이 단위행렬 E를 곱해서 행렬 A가 나오도록 해주는 행렬을 말하지요~
단위행렬은 다음과 같은 녀석들입니다!
각각 1차,2차,3차 단위행렬이라고 불러요~
행이 1개인 녀석은 1차,
2개인 녀석은 2차,3개는 3차에
곱해주시는 방식이면 되겠습니다!
예시를 하나 들어볼까요?
다음과 같은 행렬 A의 단위행렬이 뭘까요?
행이 2개니까 2차 단위행렬에 해당하네요~
그러면 정말 항등원이 맞는지 직접 곱해보죠!
오호, 정말 그렇게 나오네요!
( 1이 살려줄 성분 한 가지만 살리고,
남은 자리의 0들이 나머지 성분들을 없애주는
모습이 보이신가요? )
이렇게 해서 단위행렬에 대해 알아보았으니,
다음으로 곱셈의 역원, 역행렬을 알아보죠!
-곱셈의 역원(역행렬)
곱셈에도 당연히 역원이 존재합니다!
행렬 A의 역행렬은
으로 표기해줍니다~
역원의 정의에 따라 행렬 A에 역행렬을 곱하면,
당연히 항등원인 단위행렬이 나와야겠지요?
그렇다면 이 사실을 이용해서
역행렬을 공식으로 유도해보려고 했지만..!
글이 너무 어렵고 길어질 것 같아서
2×2행렬의 경우만 써드리도록 하겠습니닷..ㅠㅠ
(det, adj 같은 녀석들이 나오는지라..)
-2×2 행렬의 역행렬 공식 유도
우선 행렬 A과 그 역행렬 X를 잡아줍시다~
요렇게 말이지요!
여기서 이 둘을 곱하게 되면,
행렬×역행렬이니까 당연히 단위행렬이 나오겠네요~
그렇게 식을 세워서 계산을 해봅시닷
세워서 계산하니까 요렇게 나오는군요!
그런데 저 녀석이 성립하려면,
각 성분이 같아야 하는거 아니겠어요?
따라서 위와 같은 식이 성립해야 하네요!
이 네가지 식을 이용해서,
역행렬의 성분인 w,x,y,z를 a,b,c,d에 관한
식으로 나타낼 수 있어요!
w를 그렇게 구해볼까요?
그러면 다음과 같은 결과가 나와요!
나머지 x,y,z 도 같은 방법으로 풀 수 있어요!
그래서 이렇게 구한 w,x,y,z를 모두 대입하면,
이렇게 나오게 되네요!
이렇게 해서 2×2 행렬의 역행렬 공식을
유도해내었습니다~
그런데 저기서 분모 ad-bc=0이면,
즉, ad=bc이면 말이 안되는 거잖아요?
따라서 ad=bc인 2×2행렬은 역행렬을
가지지 못합니다 ㅠㅠ
(여기서 ad-bc를 판별식,
ad≠bc라서 역행렬을 가지는 녀석들을
가역행렬 이라고 부릅니닷!)
-역행렬의 성질
앞서 배운 역행렬은 다양한 성질을
가지고 있는데요!
하나씩 알아보도록 하죠~
일단 기본적으로 위의 3가지는
알아두시는 게 좋을 것 같아요!
1 :
이건 그냥 역행렬의 정의죠? ㅋㅋ
2 :
뒤집은 놈을 또 뒤집으면 당연히 원래대로~
3 :
행렬의 곱셈은 교환법칙이
성립하지 않기 때문에 이런 형태에요!
우변에 행렬 AB를 곱해보시면
금방 알 수 있겠네요~
위처럼 곱해보시면 둘 다 성립!
앞서 언급한 것에도 나오듯
아주 중요한 사실은,
교환법칙과 결합법칙이
둘 다 성립하는 행렬의 덧셈과는 달리,
행렬의 곱셈은 결합법칙은 성립하지만
교환법칙이 성립하지 않아요!
(AB≠BA라는 소리,
이는 반례를 찾아 쉽게 증명 가능합니다!)
대신 단위행렬 E와 행렬 A의 곱은
교환법칙이 성립합니다~
(이 역시 계산으로 쉽게 알 수 있겠죠!)
예제1) 다음을 증명하라.
예제2)다음 행렬 A의 역행렬을 구하라.
예제3)다음 행렬의 역행렬이 존재하는가?
답 :
1.양변을 각각 행렬의 곱셈을 취하면
쉽게 증명 가능하다.
2.
3. O , X
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(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/6
※항등원, 역원의 개념을 모르시고 이 글을 읽으시면 자신이 바보로 느껴질 수 있습니다.
지금까지 행렬의 덧셈에 대하여
다루어 본 것들 기억나시나요?
이제 몇가지 개념을 좀 더 쌓아봅시닷
-덧셈의 항등원(영행렬)
영행렬이라는 친구는,
행렬의 덧셈에서 항등원인 친구입니다!
어떤 행렬 A에 영행렬 O를 더해도,
그 값은 그대로 행렬 A가 되는 그런 행렬이지요~
그렇다면 영행렬의 모든 성분은
반드시 0이 되어야 하겠네요!
만약 위와 같은 행렬 A가 있다면,
행렬 A의 영행렬은 아래와 같겠지요~
그러니까 정리해드리자면,
영행렬 : 모든 성분이 0인 행렬
이라고 볼 수 있겠습니다~
자 어렵지 않죠?
-덧셈의 역원
그럼 두번째로 덧셈의 역원을 살펴볼까요?
이 역시 아주 간단합니다!
행렬 A가 있다면,
이 행렬 A의 덧셈의 역원은 -1×A= -A 입니다!
한가지 예를 들어볼까요?
행렬 A가 다음과 같다면,역원은 아래와 같습니닷
여기에서 추가적으로 알아야 할 것은,
'행렬의 덧셈은 교환법칙,결합법칙이 성립한다'
는 것인데요!
각각의 성분들을 더해주는 것 뿐이기 때문에,
상수의 연산에 관한 성질을
그대로 띄고 있어서 그렇습니다!
아마 직감하고 계셨을거에요 ㅋㅋ
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/8
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(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/5
지금까지 행렬과 관련된 기초적인 것들을
공부해보았는데요!
'왜 굳이 이런걸 만들어..
곱셈도 머리 아프고..ㅠㅜ'
다들 이랬을거라 생각을 합니다 히히..
나도 그랬으니까..! ㅋㅋ
이 녀석을 왜 해야하는지도 모르는데,
하려는 의지가 나기는 좀 힘들지요..ㅠㅠ
그래서 이번 글에서는 '왜!' 행렬이 중요하며,
반드시 해야하는 것인지를 알아볼거에요!
-행렬의 의의
행렬이라는 녀석은 연립방정식과
아주아주 밀접한 관련이 있답니다!
연립방정식의 해법을 쉽게 제시해주는
녀석이 바로 행렬이고,
애초에 행렬의 탄생 원인도 연립방정식
때문이라서 그래요~
우선 좀 복잡해보이는 연립방정식을
하나 예시로 들어볼까요?
요 녀석으로 해볼게요~
일단 답부터 보죠!
이 친구를 행렬로 옮겨주시며는
요렇게 된답니다!
왜 이렇게 되는지는,
저 친구를 직접 곱새보면 알 수 있겠네요~
우리가 앞서 배운 행렬의 곱셈을 이용하면,
요렇게 나오게 되는거 쉽게 이해되시죠?
이제 여기서 저 두 행렬이 같기 위해서는,
각각의 성분이 같아야 되겠지요~
그러면,
이런 조건이 생기겠네요!
어라? 그런데 이 친구는..
앞서 있었던 연립방정식과 같은 조건이네요?
네 맞습니닷!
행렬은 연립방정식을 풀기 위한 도구기 때문에
다음과 같이 표기해서 연산을 하면,
연립방정식의 해를 구할 수 있도록
정의해둔 것입니다!
결론적으로 말씀드릴 것은,
'행렬은 연립방정식을 쉽게 풀어내는 아주 유용한 도구로 쓰일 수 있다.'
가 되겠습니닷~
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/7
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(이전 강의)
https://sseong40.tistory.com/4
다음으로 행렬의 연산을 다뤄보도록 할까요?
우선, 덧셈과 뺄셈에 대하여 알아봅시닷
-행렬의 덧셈과 뺄셈
일단 간단하게 요런 행렬을 잡아보겠어요!
뭐.. 2×3이나 6×5나 다 가능한건 마찬가지~
여기서 행렬의 덧셈과 뺄셈의 계산은
다음과 같이 정의됩니다!
그러니까 쉽게 말씀드리면,
(1,1) 성분은 (1,1)이랑 , (2,3)은 (2,3)이랑
계산해주는 식으로 가면 됩니다!
여기서 덧붙이자면
행렬의 덧셈과 뺄셈이 존재하기 위한 조건은,
'두 행렬의 행의 수와 열의 수가 같다.'
즉, '두 행렬의 모양이 같다' 라는 조건이
붙어줘야 하겠네요~
(각각의 성분을 더해주거나 빼주려면,
서로서로 더하거나 뺄 짝이 각각 하나씩
존재해야 하는 거니까요!)
이렇게 덧셈과 뺄셈은 아주 쉽게
이해할 수 있었는데요!
다음으로 곱셈에 대하여 알아보도록 해요~
-행렬의 곱셈
1.상수 × 행렬
아직 여기까지는 그닥 어렵지 않습니다!
잘 보시면 아시겠지만,
분배 법칙 비슷한 느낌으로 흘러가는 거 보이시져?
계산의 예를 들어드리자면 다음과 같겠네요!
더 간편히 나타낼 수 있게 되었네요~
어렵지 않았습니다!
2.행렬 × 행렬
이 친구가 쫌 헷갈리는 녀석인데요..
일단 행렬 A,B를 요렇게 잡아봅시다~
여기서 결론부터 말씀드리자 하면,
어우 복잡해라..
이게 도통 무슨 소리일까.. 하면은!
1행 × 1열 = (1,1) 성분
1행 × 2열 = (1,2) 성분
...
이런 흐름입니다! 아직 잘 모르시겠죠?
그러면 예시를 하나 들어볼까요~
자 숫자를 좀 집어넣어 보았습니다!
저기서 우선 (1,1) 성분을 계산하는 과정을
보도록 할까요?
바로 다음과 같이 계산된답니다~
요 친구를 쫌 분석해드리자면,
행과 열 안에 있는 성분들을
하나씩 짝지어주는 거죠!
1행 : 1이 첫 번째, 3이 두 번째
1열 : 7이 첫 번째, 5가 두 번째
그러면 각각을 하나씩 짝지어줘서
첫째×첫째 + 둘째×둘째를 해주시면,
1×7 + 3×5 = 22가 나오네요!
그런데 이 대응 관계는
1번째 행과 1번째 열의 곱이므로,
(1,1)의 성분으로 집어넣어야겠네요!
같은 맥락에서 곱의 (1,2) 의 성분을 계산해보죠~
자신의 생각과 똑같은지 계산을 봐주세요!
답은 아래와 같습니다~
결론적으로 맨 위에 들어드린 예시의 결과는,
요렇게 될 수 있겠습니닷
정리해드리자면 ,
곱한 결과에서 (m,n) 성분은 m행과 n열의
원소를 각각 짝지어 곱한 뒤 모조리 더한 거다!
이제 곱셈 계산을 이해해보았으니,
곱셈이 성립할 조건도 한 번 볼까요?
제가 앞서 말씀드렸듯이 ,
앞 행렬의 행의 성분 개수와
뒤 행렬의 열의 성분 개수가 같아야만,
각각 짝을 지어 계산을 해줄 수 있는데..
그러면 걍 두 개수가 같으면 성립하겠죠 ㅋㅋ
그런데,
앞 행렬의 행 성분 개수=앞 행렬의 열 개수
뒤 행렬의 열 성분 개수=뒤 행렬의 행 개수
요렇게 되는 건 이해되시죠?
그러니까 결론적으로 곱셈 성립 조건은~
'앞 행렬의 열 개수=뒤 행렬의 행 개수'
가 되겠군요!
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/6
예제1)결과를 계산하라.
예제2) 각각이 정의되는지 아닌지를 밝혀라.
답 :
1.
2.O,X,O
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글
어디선가 들어본 듯해도 생소할 수 있는 개념,
행렬입니다!
언젠지는 모르겠는데 고등수학에 행렬이
빠졌다고 그러드라구요.. (오열 ㅠㅠ
이 좋은 개념 썩혀둘 수는 없어서
싸들고 왔지요!!
행렬의 기초부터 하나하나씩
다져나가보도록 하겠습니다~
-행렬의 정의
일단 행렬이라는 녀석은 요렇게
생겨먹었습니다!
뭔가 음..2차원스럽고 쫌 신박해보이네요 ㅇㅇ
우선 용어 정리부터 해봅시닷~
1.행렬 안의 구성원들 :
'성분(entry)' , '항 , 원소(element)'
2. 가로줄 : '행 (row)'
3. 세로줄 : '열 (column)'
(Column은 기둥이라는 의미도 있지요~
처음에 행과 열이 혼동될 수 있는데 저는 이렇게 알아둬서 안 헷갈렸어요!)
4. m개의 행, n개의 열을 가진 행렬 :
'm×n 행렬'
5.만약 행과 열의 개수가 모두 n개라면? :
n×n 인 정사각형이라서 , 'n차 정사각행렬'
(정방행렬이라고도 합니다!)
6.위에서 아래로 i 번째인 행 : 'i 행'
7.왼쪽에서 오른쪽으로 j 번째인 열 : 'j 열'
8. i 행 j 열에 있는 성분 :
'(i,j) 성분'
ex) 2행 3열이면 (2,3) 성분이라고 함!
(성분 a에서 오른쪽 밑에 ij라고 표시하셔도 됩니다~보편적으로 그렇게 해요!
가끔씩 행렬 A[i,j] 라는 표기도 나오는데 같은 의미에요! 혼란할 필요 ㄴㄴ)
9. i와 j가 같은 성분은? :
(1,1) , (2,2) , (3,3) ... 인데 얘네를 쭉 이어보면
딱 대각선이 나와준다!
따라서 이들은 '대각성분(diagonal entry)'
일단 이 정도만 알아두면 충분하겠네요!
다음 글에서는 행렬의 연산을 다뤄보겠습니다!
다음에 봐요~ 😆
(다음 강의)
https://sseong40.tistory.com/5
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